Comutação de matrizes

por UmPoetaEufórico Qua 02 Mar 2022, 15:31

Prove que as matrizes A e B comutam:

[latex]A = \begin{bmatrix} 1 & a^2 & a^3 & a^2\\ a^2 & 1 & a^2 & a^3 \\ a^3 & a^2 & 1 & a^2 \\ a^2 & a^3 & a^2 & 1 \end{bmatrix} \text[/latex]

[latex]B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & a & 1\\ 1 & 1 & 1 & a \\ a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \end{bmatrix} \text[/latex]

Excluindo a verificação manual da comparação direta de cada termo do produto AB com BA, existe algum truque ou teoria conceitual para reduzir o trabalho mecânico?

Desde já agredeço a ajuda!

por **Rory Gilmore** Qua 02 Mar 2022, 18:00

Não existe. Mas nesse caso, uma rápida análise nos permite concluir que as matrizes comutam, pois sendo AB = (cij) e BA = (cij') temos:
cij = Linha i de A x coluna j de B;
cij' = Linha i de B x coluna j de A.

É nítido que:
Linha 1 de A = coluna 1 de A;
Linha 1 de B = coluna 1 de B;
Linha 2 de A = coluna 2 de A;
Linha 2 de B = coluna 2 de B;

E assim sucessivamente.