MATEMÁTICA - GEOMETRIA ESPACIAL

por Júliawww_520 Sex 18 Fev 2022, 10:44

(ESCOLA NAVAL 2021) - Em um teste de prova num laboratório de engenharia civil, cilindros, circulares retos, de concreto de altura 3 dm e raio 1 dm, cada um, serão depositados em um recipiente no formato de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 10 dm x 8 dm x 5,48 dm.
Após a maior quantidade possível de cilindros ser colocada no recipiente, este será preenchido com água em sua totalidade. Sendo assim, a opção que mais se aproxima do volume de água, em litros, colocado no recipiente é:

a) 59 b) 68 c) 99 d) 115 e) 153

O gabarito é letra C, mas gostaria de uma explicação simplificada da resolução. Só achei comentários complexos que me confundiram.

por **Elcioschin** Sex 18 Fev 2022, 12:10

Trabalhoso. Existem duas possibilidades:

1) Colocar os cilindros em pé, no fundo do recipiente, de 8 x 10, de maneira que na 1ª fileira (á esquerda) caibam 4 cilindros (4.2 = 8 ) numerando-os de A a D, de cima para baixo

Na 2ª fileira coloque 3 cilindros, sendo o 1º tangenciando A e B, o 2º tangenciando o 1º, B e C e o 3º tangenciado o 2º e C e D

Na 3ª fileira colocar novamente 4 cilindros e depois 3 cilindros e assim por diante.

Você verá que são três fileiras de 4 cilindros e duas fileiras de 3 cilindros ocupando uma distância 1 + √3 + √3 + √3 + √3 + 1 ~= 8,9 cm < 10 cm

O total é 18 cilindros

2) Outra possibilidade é colocar os cilindros deitados na base 10 x 8 desta maneira:

Na fileira inferior cabem 2.5 = 10 cilindros (3 + 3 = 6 < 8 )
Na 2ª fileira colocar 4 cilindros nos vãos dos 5 cilindros
E tente colocar uma 3ª fileira com 5 cilindros
Mesmo assim não cabem mais do 13 cilindros

Logo a 1ª solução é a melhor. Calcule o volume Vr do recipiente e o volume Vc dos 18 cilindros --> Va = Vr - Vc

por **Medeiros** Sáb 19 Fev 2022, 22:56

O problema resume-se a acomodação de cilindros e tem um terceiro modo, misto, que maximiza o número deles na caixa, conseguindo colocar 36 peças.
cilindro: h=3 , r=1 --> d=2
Vamos acomodar:
- duas vezes três camadas de cilindros deitados -- 2 × (5 + 4 + 5)
- mais uma fileira de cilindros em pé na cabeceira destes -- 5 cilindros
- mais 3 cilindros deitados sobre a fileira dos em pé.
Observe as figuras, onde supus que 5,48 dm e a altura da caixa.