Triângulos
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Triângulos
por Pluto Dom Fev 13 2022, 16:18
Prove que a distância entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo não é maior do que a metade do perímetro do triângulo.
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Pluto- Iniciante
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Re: Triângulos
por Giovana Martins Dom Fev 13 2022, 17:55
Se eu entendi direito a questão, o enunciado não deveria ser: "Prove que a distância entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo não é maior do que a metade do perímetro do triângulo."?
[latex]\\\\\left\{\begin{matrix} \mathrm{\overline{AD}+\overline{CD}>\overline{AC}}\\ \mathrm{\overline{BD}+\overline{CD}>\overline{BC}}\\ \mathrm{\overline{BD}+\overline{AD}>\overline{AB}} \end{matrix}\right.\to\underline{ \mathrm{\overline{AD}+\overline{BD}+\overline{CD}>\frac{1}{2}\left ( \overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC} \right )}}[/latex]
[latex]\\\\\left\{\begin{matrix} \mathrm{\overline{AD}+\overline{CD}>\overline{AC}}\\ \mathrm{\overline{BD}+\overline{CD}>\overline{BC}}\\ \mathrm{\overline{BD}+\overline{AD}>\overline{AB}} \end{matrix}\right.\to\underline{ \mathrm{\overline{AD}+\overline{BD}+\overline{CD}>\frac{1}{2}\left ( \overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BC} \right )}}[/latex]
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Triângulos
por Medeiros Seg Fev 14 2022, 00:22
Não, Giovana, acho que a interpretação é outra, e bem mais simplória.
Aproveitando o desenho da Giovana e sabendo que a distância máxima entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo é o maior lado entre dois vértices, vamos considerar o lado AC.
Pela desigualdade triangular podemos escrever:
Portanto se tomamos os dois pontos mais distantes de um triângulo qualquer (A e C, no caso) e sua distância resultou menor do que o semiperímetro, fica provada a tese dada no enunciado.
Aproveitando o desenho da Giovana e sabendo que a distância máxima entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo é o maior lado entre dois vértices, vamos considerar o lado AC.
Pela desigualdade triangular podemos escrever:
AC < AB + BC
somamos AC aos dois membros da desigualdade2.AC < AB + BC + AC
o segundo membro é o perímetro do triângulo, dividimos por 2 ambos os membrosAC < (1/2).(AB + BC + AC) = p
.:. AC < p (semiperímetro)
Portanto se tomamos os dois pontos mais distantes de um triângulo qualquer (A e C, no caso) e sua distância resultou menor do que o semiperímetro, fica provada a tese dada no enunciado.
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