IME-93: Funções
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IME-93: Funções
por LMaciel Sex 04 Fev 2022, 23:48
(IME-93) Considere uma função L: R+ --> R que satisfaz:
1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 < x < y tem-se L(x) < L(y);
2. L(x.y) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y > 0.
Mostre que:
a) L(1) = 0 ; x > 0
b L(1/x) = L(x) ; x > 0
c) L(x/y) = L(x) - L(y) ; x, y > 0
d) L(x^n) = nL(x) ; x > 0 e natura n
e) L(raiz enesima de x) = L(x)/n ; x > 0 e natural n
f) L(x) < 0 L(y) sempre que 0 < x < 1 < y
Eu não consegui chegar a uma prova satisfatória para a alternativa e).
Alguma ideia?
Seria legal para o fórum se a resposta fosse respondida de a) até f), fica à disposição.
1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 < x < y tem-se L(x) < L(y);
2. L(x.y) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y > 0.
Mostre que:
a) L(1) = 0 ; x > 0
b L(1/x) = L(x) ; x > 0
c) L(x/y) = L(x) - L(y) ; x, y > 0
d) L(x^n) = nL(x) ; x > 0 e natura n
e) L(raiz enesima de x) = L(x)/n ; x > 0 e natural n
f) L(x) < 0 L(y) sempre que 0 < x < 1 < y
Eu não consegui chegar a uma prova satisfatória para a alternativa e).
Alguma ideia?
Seria legal para o fórum se a resposta fosse respondida de a) até f), fica à disposição.
LMaciel- Padawan
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Re: IME-93: Funções
por Giovana Martins Sáb 05 Fev 2022, 07:20
Acho que é isso. A propósito, acho que esse enunciado está um pouquinho estranho com relação à forma como a questão foi definida, f: ℝ+ → ℝ.
[latex]\mathrm{Item\ A)\ L(1)=L(1.1)=L(1)+L(1)=2L(1)=2.0=0}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ B)\ L(1)=L\left ( \frac{1}{x}\cdot x \right )=0=L(x)+L\left ( \frac{1}{x} \right )\to L\left ( \frac{1}{x} \right )=-L(x)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ C)\ L\left ( \frac{x}{y} \right )=L\left ( x\cdot \frac{1}{y} \right )=L(x)+\underset{-L(y),se\ x=y,Item\ B}{\underbrace{\mathrm{L\left ( \frac{1}{y} \right )}}}=L(x)-L(y)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ D)\ L(x^n)=L(x\cdot x\cdot x\cdot ...\cdot x)=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{L(x)+L(x)+...+L(x)}}}=nL(x)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ E)\ L\left ( \sqrt[n]{x} \right )=L\left ( x^{\frac{1}{n}}\cdot x^{\frac{1}{n}}\cdot x^{\frac{1}{n}}\cdot ...\cdot x^{\frac{1}{n}} \right )=\frac{1}{n}L(x)\ (Ver\ Item\ D)}[/latex]
Item F) Do enunciado: 0 < x < 1 < y.
De x² < x ⇔ 0 < x < 1, logo, L(x²) < L(x) ⇔ 2L(x) < L(x) ⇔ L(x) < 0, tendo em vista que L é estritamente crescente de acordo com o enunciado no intervalo dado.
De y² > y ⇔ y > 1, logo, L(y²) > L(y) ⇔ 2L(y) > L(y) ⇔ L(y) > 0, tendo em vista que L é estritamente crescente de acordo com o enunciado no intervalo dado.
Portanto, L(x) < 0 < L(y).
[latex]\mathrm{Item\ A)\ L(1)=L(1.1)=L(1)+L(1)=2L(1)=2.0=0}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ B)\ L(1)=L\left ( \frac{1}{x}\cdot x \right )=0=L(x)+L\left ( \frac{1}{x} \right )\to L\left ( \frac{1}{x} \right )=-L(x)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ C)\ L\left ( \frac{x}{y} \right )=L\left ( x\cdot \frac{1}{y} \right )=L(x)+\underset{-L(y),se\ x=y,Item\ B}{\underbrace{\mathrm{L\left ( \frac{1}{y} \right )}}}=L(x)-L(y)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ D)\ L(x^n)=L(x\cdot x\cdot x\cdot ...\cdot x)=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{L(x)+L(x)+...+L(x)}}}=nL(x)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ E)\ L\left ( \sqrt[n]{x} \right )=L\left ( x^{\frac{1}{n}}\cdot x^{\frac{1}{n}}\cdot x^{\frac{1}{n}}\cdot ...\cdot x^{\frac{1}{n}} \right )=\frac{1}{n}L(x)\ (Ver\ Item\ D)}[/latex]
Item F) Do enunciado: 0 < x < 1 < y.
De x² < x ⇔ 0 < x < 1, logo, L(x²) < L(x) ⇔ 2L(x) < L(x) ⇔ L(x) < 0, tendo em vista que L é estritamente crescente de acordo com o enunciado no intervalo dado.
De y² > y ⇔ y > 1, logo, L(y²) > L(y) ⇔ 2L(y) > L(y) ⇔ L(y) > 0, tendo em vista que L é estritamente crescente de acordo com o enunciado no intervalo dado.
Portanto, L(x) < 0 < L(y).
Última edição por Giovana Martins em Dom 06 Fev 2022, 12:56, editado 4 vez(es)
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Re: IME-93: Funções
por Rory Gilmore Sáb 05 Fev 2022, 16:18
Ao escrever logaritmos na prova o corretor daria nota máxima sem que você fizesse as demonstrações kkk.
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Re: IME-93: Funções
por LMaciel Sáb 05 Fev 2022, 16:55
Giovana Martins escreveu:Acho que é isso. A propósito, acho que esse enunciado está um pouquinho estranho com relação à forma como a questão foi definida, f: ℝ+ → ℝ.
[latex]\mathrm{Item\ A)\ L(1)=L(1.1)=L(1)+L(1)=2L(1)=2.0=0}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ B)\ L(1)=L\left ( \frac{1}{x}\cdot x \right )=0=L(x)+L\left ( \frac{1}{x} \right )\to L\left ( \frac{1}{x} \right )=-L(x)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ C)\ L\left ( \frac{x}{y} \right )=L\left ( x\cdot \frac{1}{y} \right )=L(x)+\underset{-L(y),se\ x=y,Item\ B}{\underbrace{\mathrm{L\left ( \frac{1}{y} \right )}}}=L(x)-L(y)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ D)\ L(x^n)=L(x\cdot x\cdot x\cdot ...\cdot x)=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{L(x)+L(x)+...+L(x)}}}=nL(x)}[/latex]
[latex]\mathrm{Item\ E)\ L\left ( \sqrt[n]{x} \right )=L\left ( x^{\frac{1}{n}}\cdot x^{\frac{1}{n}}\cdot x^{\frac{1}{n}}\cdot ...\cdot x^{\frac{1}{n}} \right )=\frac{1}{n}L(x)\ (Ver\ Item\ D)}[/latex]
Item F) Do enunciado: 0 < x < 1 < y.
De x² < x ⇔ 0 < x < 1, logo, L(x²) < L(x) ⇔ 2L(x) < L(x), tendo em vista que L é estritamente crescente de acordo com o enunciado no intervalo dado.
De y² > y ⇔ y > 1, logo, L(y²) > L(y) ⇔ 2L(y) > L(y), tendo em vista que L é estritamente crescente de acordo com o enunciado no intervalo dado.
Portanto, L(x) < 0 < L(y).
Qual seria a estranheza do enunciado? Não consegui visualizar.
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Re: IME-93: Funções
por Giovana Martins Dom 06 Fev 2022, 08:17
Está tudo ok, Maciel. Por um instante, enquanto eu resolvia a questão, achei que função tivesse comportamento f: Q+ → Q. Lapso.
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Re: IME-93: Funções
por Giovana Martins Dom 06 Fev 2022, 12:58
Maciel, apenas fiz mais um ajuste na minha resolução (em vermelho). Por algum motivo este trecho ficou omitido. O fórum para mim encontra-se totalmente bugado, deve ser por isso. Vou verificar quanto as configurações do meu navegador, as quais andei modificando recentemente.
A propósito, irei mudar esta postagem de seção. Ela se enquadra melhor na seção voltada para os vestibulares militares.
A propósito, irei mudar esta postagem de seção. Ela se enquadra melhor na seção voltada para os vestibulares militares.
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