polinômios

Os números reais u e v , para os quais o polinômio P(x)=ux³+vx²-73x+102 é divisível por q(x)=x²-5x+6 , cumprem a condição


a)u + v = 73
b)u+ v = 102
c)u + v >102
d) u + v < 73

P(x)=ux³+vx²-73x+102 divisível por x²-5x+6

Ou seja, fazendo a divisão normal de :

ux³+vx²-73x+102 | x²-5x+6

Temos:

x³*(u-1)+x²(5+v)+102-79x

Como é divisível então o resto é zero:

Então:

u-1=0

5+v=0

102-79x=0

u=1

v=-5

u+v=-4 --> u+v<73

Adam, eu não entendi direito, então fui conferir:

Darei números seguindo as condições:
u + v = - 4
1 - 5 = -4

x = 1

ux³ + vx² - 73x + 102
1.1³ + (-5)1² - 73.1 + 102
1 - 5 - 73 + 102
25 = P(x)

x² - 5x + 6
1² - 5.1 + 6
1 - 5 + 6
2 = q(x)

P(x)/q(x) = 25/2
Não é divisível.

Não entendi...

Vou tentar de novo...

faraday você tem o gabarito?

Acho que agora está correto:

q(x)=x²-5x+6= x*(x-2)-3(x-2) = (x-2)*(x-3)

Como P(x) é divisível por q(x) então temos que:

P(2)=0 e P(3)=0

Com isso achamos os valores de "u" e "v"...

a resposta está correta

faraday quando tiver o gabarito não esqueça de postar.....

Desculpe, mas ainda não entendi.

Parece que sua primeira resposta está errada, concorda?
E na segunda eu não entendi... Poderia dar uma ajudinha?

Obrigado.

Os números reais u e v , para os quais o polinômio P(x)=ux³+vx²-73x+102 é divisível por q(x)=x²-5x+6 , cumprem a condição:

P(x) é divisível por q(x) ----> Ou seja:

P(x)=q(x)*quociente+resto

Como se trata de uma divisão exata, temos:

resto=0

q(x)=x²-5x+6 ---> Que pode ser expresso da seguinte forma:

x²-5x+6 = x²-3x-2x+6 =x*(x-2)-3(x-2) = (x-2)*(x-3)

q(x)=(x-2)*(x-3)

Então:

P(x)=(x-2)*(x-3)*quociente+resto

Para termos resto zero devemos ter:

P(2)=0

P(3)=0

Lembrando que:

P(x)=ux³+vx²-73x+102

Então:

Para P(2)=0 temos:

ux³+vx²-73x+102 =0 ---> 8u+4v-146+102=0

Para P(3)=0 temos:

28u+9v-219+102=0

Portanto:

8u+4v-146+102=0

27u+9v-219+102=0

Resolvendo o sistema...

Achamos "u" e "v" ..

Meu primeiro post está errado ....

Olha, eu entendi assim, gente.

Para P(x)=ux³+vx²-73x+102 ser divisível por q(x)=x²-5x+6, então o resto deve ser zero, de modo que q(x) multiplicado por r(x) deve dar P(x). (Chamo de r(x) porque é o resultado.) r(x) só pode ser um polinômio de primeiro grau, pois multiplicando-o com q(x), dará um polinômio de terceiro grau.

r(x) * q(x) = P(x)
(ax + b) * (x² - 5x + 6) = ux³ + vx² - 73x + 102
ax³ - 5ax² + 6ax + bx² - 5bx + 6b = ux³ + vx² - 73x + 102
Essa conta está parecendo um arco-íris, mas é para separar termos semelhantes. =P
6b = 102 -> b = 17
6a - 5b = - 73 -> 6a = 12 -> a = 2
- 5a + b = v -> - 10 + 17 = v -> v = 7
a = u -> u = 2

Logo, o valor de v é 7 e o valor de u é 2. Então a resposta é a letra D.


Espero ter ajudado. ^_^

PS.: O Adam postou antes de mim a resposta... Mas vou deixar aqui caso não tenha entendido ainda... Qualquer coisa, só perguntar. ;]