Inequação Simultanea

Boa tarde ! Estou tentando resolver essa inequação, mas não estou conseguindo. Alguém pode me ajudar ? 

Determine m para que se tenha para [latex]\forall x\in \mathbb{R}[/latex].

[latex]-3<\tfrac{x^{2}+mx-2}{x^{2}-x+1}<2[/latex]

Comecei assim:

[latex]\left\{\begin{matrix} \tfrac{x^{2}+mx-2}{x^{2}-x+1}>-3\\ \tfrac{x^{2}+mx-2}{x^{2}-x+1}<2 \end{matrix}\right.[/latex]


Simplifiquei e ficou assim: 

[latex]\left\{\begin{matrix} m>\frac{-4x^{2}+3x-1}{x}\\ m<\frac{x^{2}-2x+4}{x} \end{matrix}\right.[/latex]


Parei aqui, não estou conseguindo continuar... 
O que fiz está errado ?

O gabarito é: -1 < m < 2

Bia, em situações como essa é interessante verificar se o denominador é positivo e, de fato, x² - x + 1 > 0  para todo x real.

Isso é importante porque você pode multiplicar toda a desigualdade por x² - x + 1 conservando seu sentido. Ora, depois a resolução fica muito simples, bastando resolver um sistema de inequações do 2º grau.

Desculpe, mas eu realmente não entendi como devo calcular. 

Em cada inequação leve x² - x + 1 para o segundo membro
Em seguida traga tudo do 2º membro para o 1º e obtenha uma função do 2º grau no 1º membro, na variável x
Para a função ser sempre válida devemos ter ∆ ≥ 0 ---> nova função do 2º grau na variável m
Calcule as raízes desta nova função e determine os intervalos válidos


Faça a interseção dos dois intervalos obtidos

Podemos multiplicar tudo por (x² - x + 1) porque (x² - x + 1) > 0 ∀x ∈ ℝ, então fazendo isso e desenvolvendo vem:

[latex] -3< \frac{x^{2}+mx-2}{x^{2}-x+1}< 2 \Leftrightarrow -3({x^{2}-x+1})< x^{2}+mx-2 < 2({x^{2}-x+1}) \Leftrightarrow (-3{x^{2}+3x-3})< x^{2}+mx-2 < ({2x^{2}-2x+2}) \Leftrightarrow \begin{cases} (i)-4x^{2}+(3-m)x-1<0\\ (ii)-x^{2}+(2+m)x-4<0 \end{cases} \Leftrightarrow \\ lembrando \, que\, tal\, sistema\, deve \, valer\, \forall m\in \mathbb{R}\, vem:\\\\\Leftrightarrow \Delta i< 0\wedge \Delta ii<0\Leftrightarrow \begin{cases} (3-m)^{2}+16<0 \\ (2+m)^{2}-16<0 \end{cases}\Leftrightarrow -1< m< 2[/latex]

Elcioschin escreveu:Em cada inequação leve x² - x + 1 para o segundo membro
Em seguida traga tudo do 2º membro para o 1º e obtenha uma função do 2º grau no 1º membro, na variável x
Para a função ser sempre válida devemos ter ∆ ≥ 0 ---> nova função do 2º grau na variável m
Calcule as raízes desta nova função e determine os intervalos válidos


Faça a interseção dos dois intervalos obtidos

Segui o passo a passo do senhor, fiz assim. O senhor poderia conferir se está correto ? 
Desde já agradeço ! 

BiaBeatriz escreveu:

Elcioschin escreveu:Em cada inequação leve x² - x + 1 para o segundo membro
Em seguida traga tudo do 2º membro para o 1º e obtenha uma função do 2º grau no 1º membro, na variável x
Para a função ser sempre válida devemos ter ∆ ≥ 0 ---> nova função do 2º grau na variável m
Calcule as raízes desta nova função e determine os intervalos válidos


Faça a interseção dos dois intervalos obtidos

Segui o passo a passo do senhor, fiz assim. O senhor poderia conferir se está correto ? 
Desde já agradeço ! 

Bia, apenas uma ressalva em sua resolução o delta (∆) deve ser MAIOR OU IGUAL (≥) a zero, o mestre Elcio explica isso, quando você faz de ∆ < 0 você esta adimindo os números COMPLEXOS e o enunciado nos diz que X∈ ℝ. Além do mais admitindo delta < 0 o gráfico NÃO seria esse! 

Estou deixando abaixo a influência do delta na construção gráfica
Ademais ao meu ver está correta sua solução, exceto nessa parte que mencionei, sobre o delta

Jvictors021 escreveu:

BiaBeatriz escreveu:

Elcioschin escreveu:Em cada inequação leve x² - x + 1 para o segundo membro
Em seguida traga tudo do 2º membro para o 1º e obtenha uma função do 2º grau no 1º membro, na variável x
Para a função ser sempre válida devemos ter ∆ ≥ 0 ---> nova função do 2º grau na variável m
Calcule as raízes desta nova função e determine os intervalos válidos


Faça a interseção dos dois intervalos obtidos

Segui o passo a passo do senhor, fiz assim. O senhor poderia conferir se está correto ? 
Desde já agradeço ! 

Bia, apenas uma ressalva em sua resolução o delta (∆) deve ser MAIOR OU IGUAL (≥) a zero, o mestre Elcio explica isso, quando você faz de ∆ < 0 você esta adimindo os números COMPLEXOS e o enunciado nos diz que X∈ ℝ. Além do mais admitindo delta < 0 o gráfico NÃO seria esse! 

Estou deixando abaixo a influência do delta na construção gráfica
Ademais ao meu ver está correta sua solução, exceto nessa parte que mencionei, sobre o delta

Muito obrigada ! Foi um super descuido meu 

Não consigo fazer a interseção corretamente