Problema de álgebra

por Sayd Aires Dom 23 Jan 2022, 18:38

Saudações, camaradas.

Dada a equação x^n = n^x, qual o valor em R de x?

Companheiros, por questões lógicas, deduzo que para a igualdade acima ser verdadeira, logicamente x = n.

Abaixo fiz uns cálculos, e gostaria de saber se minha demonstração matemática está correta:

x^n =n^x x=?

log x^n = log n^x

I) log x^n = n log x

II) log n^x = x log n

∴ n log x = x log n

⇒III) x = (n log x)/(log n)

IV) log x = z ⇒∃| a | a^z = x

V) log n = y ⇒∃| a | a^y = n

0< a ≠ 1 ⇒ a^z = a^y, ∴ z = y

III) x = n . z/y, z = y ⇒z/y = 1

∴ x = n . 1 ⇒ x = n , ∀ x, n ∈ R

Agradeço a resposta.

por **tales amaral** Seg 24 Jan 2022, 11:30

Quem garante que o a do IV) vai ser o mesmo a do V)? A sua solução não vale para x ou n negativo (log de número negativo não existe).

por aitchrpi Seg 24 Jan 2022, 11:40

[latex]x^n = n^x[/latex] não implica necessariamente que x = n.

Por exemplo,

[latex]\sqrt{3}^{\sqrt{27}} = \sqrt{27}^{\sqrt{3}}[/latex] [latex]\sqrt[3]{4}^{\sqrt[3]{256}} = \sqrt[3]{256}^{\sqrt[3]{4}}[/latex] [latex]\sqrt[4]{3125}^{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{5}^{\sqrt[4]{3125}}[/latex] [latex]\sqrt[5]{46656}^{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[5]{6}^{\sqrt[5]{46656}}[/latex]

Dica: tente resolver a equação para x e n em função de k, dado x > n > 0 e x = kn.

por Sayd Aires Seg 24 Jan 2022, 12:56

tales amaral escreveu:Quem garante que o a do IV) vai ser o mesmo a do V)? A sua solução não vale para x ou n negativo (log de número negativo não existe).

De fato, Tales, as soluções dadas valem apenas para x e n naturais ( acabei me passando nessa questão de ambos negativos). Porém, IV = V se x e n forem naturais, já que os log (IV) e log (V) estão sob as mesmas bases, bases estas que atendem os critérios de uma base exponencial.

por Sayd Aires Seg 24 Jan 2022, 12:58

aitchrpi escreveu:[latex]x^n = n^x[/latex] não implica necessariamente que x = n.

Por exemplo,

[latex]\sqrt{3}^{\sqrt{27}} = \sqrt{27}^{\sqrt{3}}[/latex] [latex]\sqrt[3]{4}^{\sqrt[3]{256}} = \sqrt[3]{256}^{\sqrt[3]{4}}[/latex] [latex]\sqrt[4]{3125}^{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{5}^{\sqrt[4]{3125}}[/latex] [latex]\sqrt[5]{46656}^{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[5]{6}^{\sqrt[5]{46656}}[/latex]

Dica: tente resolver a equação para x e n em função de k, dado x > n > 0 e x = kn.

Irei aplicar esse método, e levar em conta também x e n racionais ou irracionais. Obrigado!