Lados do triângulo

1. Calcule os lados do triângulo que tem por vértices os centros dos quadrados construídos externamente sobre os lados do triângulo retângulo de lados 6,8, 10.

Hum ! esqueci que tem calcular antes BS....
Aplicar teorema de Pitolomeu no quadrilátero inscritível ABCS

Zeis escreveu:1. Calcule os lados do triângulo que tem por vértices os centros dos quadrados construídos externamente sobre os lados do triângulo retângulo de lados 6,8, 10.

Outro modo.

Em preto e cinza, no desenho, o fornecido pelo enunciado.


Em síntese, queremos a medida dos lados a, b e c do triângulo acutângulo escaleno ABC.
Seja O o circuncentro do triângulo RST dado. A partir do baricentro dos quadrados (encontro das diagonais) baixamos perpendiculares aos lados do triângulo RST e todas irão concorrer no ponto O.
Estando isto claro, na figura abaixo eliminamos as linhas desnecessárias para deixar o desenho mais limpo.


Do triângulo retângulo isósceles BOC temos -----> [latex]\boxed{\,\,a=7\sqrt{2}\,\,}\,\,\approx\,\,9,90[/latex]

Assinalamos [latex]\alpha[/latex] e [latex]\beta[/latex] os ângulos agudos de RST e, por semelhança de triângulos os assinalamos também junto ao ponto O. Temos então que:
[latex]\sin\alpha=\cos\beta=\frac{3}{5} \,\,\,\,\,\,\, e \,\,\,\,\,\,\, \sin\beta=\cos\alpha=\frac{4}{5}[/latex]

[latex]\\\cos\theta=\cos(90^{\circ}+\alpha)=-\sin\alpha\\ \cos\varphi =\cos(90^{\circ}+\beta)=-\sin\beta[/latex]

aplicando a lei dos cossenos nos triângulos AOC e AOB respectivamente temos:
[latex]\\b^{2}=7^{2}+5^{2}+2\cdot7\cdot5\cdot\frac{3}{5}=116\\\\ \therefore\,\,\,\,b=\sqrt{116}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{\,\,b=2\sqrt{29}\,\,}\,\,\approx\,\,10,77[/latex]

[latex]\\c^{2}=7^{2}+5^{2}+2\cdot7\cdot5\cdot\frac{4}{5}=130\\\\ \therefore\,\,\,\,\boxed{\,\,c=\sqrt{130}\,\,}\,\,\approx\,\,11,40[/latex]