Aplicações da 2ª Lei de Moivre.

(IEZZI) Calcule:

Resp.: (1 + 2i) ou ou


Bomm dia, amigos!
Como posso aplicar a segunda lei de moivre nessa questão??
Eu tento fazer, como a fórmula pede:
1. Colocando o expoente fracionário no módulo. OK
2. E fazendo aquela regra para o ângulo:

Só que eu n estou conseguindo relacionar essa fórmula do ângulo com os dados da questão...

Vlw!

Para a 1ª solução:

∛(- 11 - 2.i) = a + b.i ---> - 11 - 2.i = (a + b.i)³ --> - 11 - 2.i = a³ + 3.a².b.i + 3.a.b².i² + b3.i³ --->

- 11 - 2.i = a³ + 3.a².b.i - 3.a.b² - b³.i --> - 11 - 2.i = (a³ - 3.a.b²) + (3.a².b - b³).i

Igualando termo a termo:

a³ - 3.a.b² = - 11 ---> 3.a².b - a³ = 11 ---> a.(3.b² - a²) = 1.11 ---> a = 1 ---> 3.b² - a² = 11 ---> b = ± 2

3.a².b - b³ = - 2 ---> 3.1²(+2) - b³ = - 2 ---> b = 2 ---> OK (b = -2 não serve)

Solução: 1 + 2.i

Opa, vamos lá... questão puxadinha essa, mas okay.
z=-11-2i
escrevendo na forma trigonométrica.

[latex]z=\sqrt{125}(cos\theta +isen\theta )[/latex]


temos que:
[latex]cos\theta =\frac{-11}{\sqrt{125}}[/latex]



[latex]sen\theta =\frac{-2}{\sqrt{125}}[/latex]

com isso, concluímos que θ está no terceiro quadrante

agora, calculamos a raiz cubica de z...

usando a formula de Moivre fica assim:

[latex]\sqrt[3]{z}=\sqrt[6]{125}(cos\frac{\theta +2k\pi }{3}+isen\frac{\theta +2k\pi }{3});k=0;1;2[/latex]


não sei se ajuda muito, mas tenho que ir na rua agora... então, tenta finalizar usando a ideia
de arco triplo e tals


boa sorte 

Oii gente, vlw por responder!!

Elcio, o senhor acha vantajoso fazer usando esse "método" de, quando tivermos um complexo com raiz quadrada ou raiz cúbica, sempre igualar a um x + yi ? Acho que, pelo algebrismo, fica mais fácil de resolver do que aplicando Moivre...

E catwopir, vlw pela fórmula dada cara kkkk.
Eu tinha chegado nessa parte... mas achei q eu tinha errado alguma coisa...
Eu só preciso então, agr, substituir os k's certo?! Mas como q eu relaciono esses k's com o cosseno e o seno q vc achou(q foi o mesmo resultado meu tbm kkkk)?

Vou testando aqui para as outras duas respostas tbm!
Obg gente!

Bergamotinha OwO escreveu:Oii gente, vlw por responder!!

Elcio, o senhor acha vantajoso fazer usando esse "método" de, quando tivermos um complexo com raiz quadrada ou raiz cúbica, sempre igualar a um x + yi ? Acho que, pelo algebrismo, fica mais fácil de resolver do que aplicando Moivre...

E catwopir, vlw pela fórmula dada cara kkkk.
Eu tinha chegado nessa parte... mas achei q eu tinha errado alguma coisa...
Eu só preciso então, agr, substituir os k's certo?! Mas como q eu relaciono esses k's com o cosseno e o seno q vc achou(q foi o mesmo resultado meu tbm kkkk)?

Vou testando aqui para as outras duas respostas tbm!
Obg gente!

tenho uma ideia... usa a ideia de arco triplo... em que 
cos3x=4cos²x-3cosx
usa 3x=θ
idem pro seno

Uma pequena correção:

cos(3.x) = 4.cos³x - 3.cosx

Opaa gente, boa noite!
Foi mal aí pelo sumiço, aqui onde eu moro choveu mt aí fiquei quase um dia todo sem net...

Vou testar aplicar os arcos triplos, catwopir!

Vlww!