Polinômios

por GabsGabiGabriel* Qua 15 Dez 2021, 00:45

(ITA-SP) Um polinômio p(x) é dividido por x+1 dá resto -1. por x-1, da resto 1 e por x+2, da resto 1. Qual será o resto da divisão por P(x) por (x+1).(x-1).(x+2)?

Gabarito : x²+x-1.

por **Emanoel Mendonça** Qua 15 Dez 2021, 12:08

Bom dia

Pelo Teorema do resto, podemos concluir que:

P(-1) = -1
P(1) = 1
P(-2) = 1

Podemos denotar P(x) através dos elementos da divisão:

P(x) = Q(x). (x+1).(x-1).(x+2) + R(x)

Veja que o divisor possui grau 3, portanto o resto é no máximo do 2°, então:

R(x) é da forma ax² +bx + c

Usando os valores que descobrimos pelo teorema do resto:

-1 = Q(-1) . (-1+1).(-1-1).(-1+2) + a(-1²) -b +c

-1 = a - b + c

Continue para p(1) e p(-2), teremos 3 incógnitas e 3 equações.

por GabsGabiGabriel* Qui 16 Dez 2021, 21:48

Emanoel Mendonça escreveu:Bom dia

Pelo Teorema do resto, podemos concluir que:

P(-1) = -1
P(1) = 1
P(-2) = 1

Podemos denotar P(x) através dos elementos da divisão:

P(x) = Q(x). (x+1).(x-1).(x+2) + R(x)

Veja que o divisor possui grau 3, portanto o resto é no máximo do 2°, então:

R(x) é da forma ax² +bx + c

Usando os valores que descobrimos pelo teorema do resto:

-1 = Q(-1) . (-1+1).(-1-1).(-1+2) + a(-1²) -b +c

-1 = a - b + c

Continue para p(1) e p(-2), teremos 3 incógnitas e 3 equações.

Obrigado, com suas instruções consegui resolver a questão.