Triângulos

o triangulo ABC o ponto D do lado BC é tal que AD é bissetriz do ângulo BAC. Se AB=2, AD=3 e AC=6, o lado BC mede:
[latex]a) \sqrt{117} b) \sqrt{184} c)\sqrt{198} d)\sqrt{208} e)\sqrt{224}[/latex]


gabarito letra D

Sugestão:

Sejam BÂD = CÂD = θ e B^DA = β --> A^BD = 180º - (β + θ) ---> CDA = 180º - β ---> A^CD = β - θ
Sejam BD = x ---> CD = y

Lei da bissetriz interna ---> AB/BD = AC/CD ---> 2/x = 6/y ---> y = 3.x

Lei dois senos:

∆ ABD --> AB/senβ = BD/senθ = AD/sen(β + θ)

∆ ACD --> AC/sen(180º - β) = CD/senθ = AC/sen(β - θ)

Elcioschin escreveu:Sugestão:

Sejam BÂD = CÂD = θ e B^DA = β --> A^BD = 180º - (β + θ) ---> CDA = 180º - β ---> A^CD = β - θ
Sejam BD = x ---> CD = y

Lei da bissetriz interna ---> AB/BD = AC/CD ---> 2/x = 6/y ---> y = 3.x

Lei dois senos:

∆ ABD --> AB/senβ = BD/senθ = AD/sen(β + θ)

∆ ACD --> AC/sen(180º - β) = CD/senθ = AC/sen(β - θ)

Primeiramente, queria agradecê-lo por me responder. As dúvidas que o senhor já respondeu para outros usuários me ajudaram muito mesmo no caminho da aprovação

segundamente, ainda estou com dificuldade para resolver a questão. Desde a sua resposta estou montando sistemas e todos acabam ou em equações do tipo XSen θ = XSen, ou um sistema de adição de arcos que dá o valor do cos(θ) = 1 e após usar lei dos cossenos x=1. O senhor sabe o que eu posso estar errando?

existe  algum erro no enunciado.

pela desigualdade triangular devemos ter 4 < BC < 8.

nenhuma alternativa atende!

Medeiros escreveu:existe  algum erro no enunciado.

pela desigualdade triangular devemos ter 4 < BC < 8.

nenhuma alternativa atende!

Brigado, mestre

Leozinhorj

o fato das alternativas estarem bugadas não significa que o problema é sem solução. Vou iniciar na esperança que algum colega continue.


Não experimentei mas podemos fazer a comparação da área do quadrilátero ABEC por Brahmagupta com a soma das áreas de ABE + AEC por Heron -- a ver o que dá certo para achar o x ou o y ou o senα, eliminando um deles da eq.

Note que o segmento OE é perpendicular ao BC e o corta ao meio, fica 2a para cada lado; assim BÔE = CÔE = 2α

ops! vejo agora que tem algo errado, o triângulo BCE é isósceles e x deve ser menor do que 2y -- o que não impede que seja y = 2a.

ops.2! A conta que fiz do Ptolomeu está errada (foi o sono). Pegando da 2a linha:
2y + 6y = (3 + DE).x
8y = 3x + 3.DE
DE = (8y - 3x)/3 .................. acho que isto não leva a nada.

raimundo pereira escreveu:

Eu cheguei nesse polinômio por stewart e acabei largando. No final seu eu tivesse seguido eu chegaria mais rápido do que cheguei com sistemas

Eis outro modo de provar que a questão não tem solução.

Usando Lei dos Cossenos nos triângulos ABD e ACD:

BD² = AB² + AD² - 2.AB.AD.cosθ --> x² = 2² + 3² - 2.2.3.cosθ--> x² = 13 - 12.cosθ --> I

CD² = AC² + AD² - 2.AC.AD.cosθ --> (3.x)² = 3² + 6² - 2.3.6.cosθ--> 9.x² = 45 - 36.cosθ --> II

I em II ---> 9.(13 - 12.cosθ) = 45 - 36.cosθ --> 117 - 108.cosθ --> 45 - 36.cosθ ---> cosθ = 1

Ou θ = 0 ou θ = 360º ---> O triângulo não existe

Leozinhorj: De onde foi copiado o enunciado? Por favor, confira o enunciado e  envie uma foto.

Graaande Raimundo!!! Matou a pau -- problema sem solução.

Não uso Stewart porque não sei usar, nunca aprendi, mas foi uma boa sacada.

Acho que essa questão tem um erro de origem: o triângulo existe mas o segmento AD não pode ser simultaneamente bissetriz e de medida 3. Se eu tivesse o Geogebra iria montar isso com AD=3 e conferir os ângulos.


E continuamos aguardando o leozinhorj atender à solicitação do Élcio: origem e foto do enunciado.