CMBH 2021 - Áreas

por castelo_hsi Ter 30 Nov 2021, 15:59

Na figura abaixo, estão representados o hexágono regular ABCDEF e o triângulo ACE, inscrito ao hexágono. O perímetro desse hexágono em função da área S do triângulo ACE é igual a:

CMBH 2021 - Áreas Image52851e25795c6868

a) $CMBH 2021 - Áreas Gif$
b) $CMBH 2021 - Áreas Gif$
c) $CMBH 2021 - Áreas Gif$
d) $CMBH 2021 - Áreas Gif$
e) $CMBH 2021 - Áreas Gif$

Gabarito:

por Gustavorab Ter 30 Nov 2021, 17:32

A partir do [latex]\bigtriangleup ABC [/latex] de lados L, L e X. Ou seja, [latex]\bigtriangleup ABC [/latex] é isósceles assim como [latex]\bigtriangleup CDE [/latex] e [latex]\bigtriangleup EFA[/latex]

Aplicando lei dos cossenos no [latex]\bigtriangleup ABC [/latex] achamos X mas para isso devemos achar quanto vale o ângulo B:
Chamemos o ângulo em B de [latex]\beta [/latex]
Tal que [latex]\beta [/latex] = ângulo interno do hexágono
ai = [latex]\frac{(n-2).180)}{n}[/latex]= [latex]\frac{(6-2).180)}{6}= 120[/latex]
[latex]\cos 120 = \frac{-1}{2}[/latex]

x²= L²+L² - 2.L.L. [latex]\frac{-1}{2}[/latex]
X = [latex]\sqrt{3L^{2}}[/latex]

Como [latex]\bigtriangleup ABC [/latex]= [latex]\bigtriangleup CDE [/latex]= [latex]\bigtriangleup EFA[/latex], Temos que o [latex]\bigtriangleup ACE[/latex] é equilátero, então

[latex]S= \frac{X^{2}\sqrt{3}}{4}[/latex]= [latex]S= \frac{3L^{2}\sqrt{3}}{4}[/latex]
Isolando L temos:
[latex]L = \frac{2\sqrt{S\sqrt{3}}}{3} = \frac{2\sqrt[4]{3S^{2}}}{3}[/latex]

O perímetro do hexágono é dado pela soma dos seus lados, ou seja, 6.L

então 2P = [latex] \frac{6.2\sqrt[4]{3S^{2}}}{3} = 4\sqrt[4]{3S^{2}}[/latex]