(OPM) - Operações entre Conjuntos

Numa caixa, 3/5 dos objetos são feios e 3/7 são inúteis. Jogaram-se fora todos os objetos simultaneamente feios e inúteis e juntaram-se alguns objetos simultaneamente bonitos e úteis. Depois disto, apenas 1/4 dos objetos eram feios e 1/9 eram inúteis. Qual a razão entre o número final e o número inicial de objetos simultaneamente bonitos e úteis?

a) 3/1 
b) 1/3
c) 3/2
d) 2/3
e) 2/9

Gabarito:

Observação:

Essa questão já existe no fórum mas não compreendi quase nada na resolução proposta pelo colega, tentei analisar a solução e nem encontrei o resultado... (Obs.: se a questão já existe no fórum, você deve reabrir o tópico ao invés de criar outro)

Sendo A o conjunto dos feios, B o conjunto dos inúteis temos:

I)No inicio,



n(A)/N(U) = (x + z)/(x + y + z + k) = 3/5 ⇒ 5x + 5z = 3x + 3y + 3z + 3k ⇒ 2x + 2z = 3y + 3k
n(B)/N(U) = (y + z)/(x + y + z + k) = 3/7 ⇒ 7y + 7z = 3x + 3y + 3z + 3k ⇒ 4y + 4z = 3x + 3k

I)Com considerando (j) a quantidade de objetos bonitos e uteis final, temos a nova configuração:



n(A)/N(U) = x/(x + y + j) = 1/4 ⇒ 4x = x + y + j ⇒ 3x = y + j
n(B)/n(U) = y/(x + y + j) = 1/9 ⇒ 9y = x + y + j ⇒ 8y = x + j

III) Com isso, temos:

2x + 2z = 3y + 3k (1)
4y + 4z = 3x + 3k (2)
3x = y + j (3)
8y = x + j (4)

*Usando (1) e (2) temos:

2x + 2z = 3y + 3k (x -2)
4y + 4z = 3x + 3k          +
----------------------------
4y - 4x = 3x + 3k - 6y - 6k  ⇒ 10y +3k = 7x ⇒ 3k = 7x - 10y(5)

*Usando (3) e (4) temos:

3x = y + j(x 2)
8y = x + j(x -1)
-------------
6x - 8y = 2y - x + j ⇒ j = 7x - 10y(6)

*Usando (5) e (6) temos:

3k = 7x - 10y
j = 7x - 10y
------------------
j = 3k

Logo,

j/k = 3

Excelente, Messias Castro!!! Muito obrigado, ajudou demais.