(India)Sistema

Se (a;b;c) é uma solução real do do sistema x²+xy+zx+yz=12; y²+xy+xz+yz=15; z²+xy+xz+yz=24 e K=a+b+c com K>0. Então, o valor de K raiz quadrada de trinta é igual a:
a)34
b)69/2
c)35
d)71/2
e)36
resp:b

x² + x.y + z.x + y.z = 12 ---> I
y² + x.y + x.z + y.z = 15 ---> II
z² + x.y + x.z + y.z = 24 ---> III

K = a + b + c ---> IV

II - I ---> y² - x² = 3 ---> (y - x).(y + x) = 3
III - I --> z² - x² = 12 --> (z - x).(z + x) = 12
III - II -> z² - y² = 9 ---> (z - y).(z + y) = 9

Tente prosseguir

teve que ser na força bruta mesmo

não existe solução tal que x=0 (não é dificil provar isso)
dessa forma, sejam p, q e r tais que
y=px
z=qx
3=rx² (vai dar certo, confia)

então

i) x²+xy+xz+yz = x²+px²+qx²+pqx² = 12 = 4rx²  
    ⟹ 1+p+q+pq=4r ⟹ (p+1)(q+1)=4r

analogamente, substituindo nas outras duas eq, obtemos

ii) p²+p+q+pq=5r

iii) q²+p+q+pq=8r

substituindo i) em iii):
q²+p+q+pq=q²+(4r-1)=8r ⟹ (q-1)(q+1)=4r=(p+1)(q+1)
q não pode ser -1, pois então 4r=q²-1=0, mas r não pode ser 0 (lembre que 3=rx²)
então
q-1=p+1 ⟹ q=p+2

fazendo ii)-i):
p²-1=r 
substituindo tudo em i)
(p+1)(q+1)=(p+1)(p+3)=4r=4(p²-1)
⟹ p²+4p+3=4p²-4 ⟹ 3p²-4p-7=0
resolvendo, obtemos 
[latex]p=\frac{4\pm\sqrt{16}+4\cdot3\cdot7}{6}=\frac{4\pm 10}{6}[/latex]
então
[latex]p=\frac{7}{3}[/latex] 
ou
[latex]p=-1[/latex]
mas se p=-1, então q=1 e novamente temos um absurdo.
Portanto, p=7/3 e q=13/3

então r=p²-1=49/9-1=40/9
de forma que
x²=3/r=27/40, então 
[latex]x=\pm3\sqrt\frac{3}{40}[/latex]

então as soluções do sistema são
[latex]\left(3\sqrt\frac{3}{40}, 7\sqrt\frac{3}{40}, 13\sqrt\frac{3}{40}\right)[/latex]
e
[latex]\left(-3\sqrt\frac{3}{40}, -7\sqrt\frac{3}{40}, -13\sqrt\frac{3}{40}\right)[/latex]
como k>0, resta que
[latex]k\sqrt{30}=23\sqrt\frac{3}{40}\sqrt{30}=\frac{69}{2}[/latex]
[latex][/latex]

Vou fazer de outra forma:

[latex]\begin{matrix} x^2 +xy+xz+yz = 12 (I)\\ \\ y^2 + xy + xz + yz = 15 (II)\\ \\ z^2 + xy + xz + yz = 24 (III) \end{matrix}[/latex]

Perceba que as formulas podem ser escritas da seguinte forma:

[latex]\begin{matrix} (x+y)(x+z) = 12 (I)\\ \\ (x+y)(y+z) = 15 (II)\\ \\ (x+z)(y+z) = 24 (III) \end{matrix}[/latex]

Sendo i = x + y, j = x + z e k = y + z, temos:

[latex]\begin{matrix} i\cdot j = 12 (I)\\ \\ i\cdot k = 15 (II)\\ \\ j\cdot k = 24 (III) \end{matrix}[/latex]

Pelas equações temos que:

[latex]\begin{matrix} i^2\cdot (j\cdot k) = 12\cdot 15 \\ \\ j^2 \cdot (i\cdot k) = 12\cdot 24 \\ \\ k^2\cdot (i\cdot j) = 24\cdot 15 \end{matrix}\; \Rightarrow \; \begin{matrix} i^2 = \frac{12\cdot 15}{24} = 7.5\\ \\ j^2 = \frac{12\cdot 24}{15} = 19.2\\ \\ k^2 = \frac{24\cdot 15}{12} = 30 \end{matrix}[/latex]

Com isso, temos que (i + k +j) = 2(x+y+z) = 2K. Logo,

[latex]4\cdot K^2 =(i+k+j)^2 = i^2+k^2+j^2+2(ij+ik+jk)[/latex]

[latex]4\cdot K^2 = 7.5+19.2+30+2(12+15+24)[/latex]

[latex]4\cdot K^2 =158.7[/latex]

[latex]K^2 =39.675[/latex]

Como K > 0, temos:

[latex]K^2\cdot 30 =1190.25[/latex]

[latex]K\cdot \sqrt{30}=34.5[/latex]

[latex]K\cdot \sqrt{30} = \frac{69}{2}[/latex]