Olimpíada da Índia
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Olimpíada da Índia
por Dimizkaz Ter 16 Mar 2021, 18:07
Se x e y são inteiros positivos tais que xy+1 é divisível por 24, mostre que x+y é divisível por 24.
Dimizkaz- Padawan
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Re: Olimpíada da Índia
por Elcioschin Ter 16 Mar 2021, 19:05
Algumas considerações:
x.y + 1
-------- = inteiro positivo
.. 24
Múltiplos de 24 ---> 24, 48, 72, 96, 120 .....
x.y ........................23, 47, 71, 95, 119 .....
Para 23 = 1.23 ---> x = 1, y = 23 ---> x + y = 24
Para 47 = 1.47 --> x = 1, y = 47 (ou vice-versa) ---> x + y = 48
Para 71 = 1.71 --> x = 1, y = 71 (ou vice-versa) ---> x + y = 72
Para 95 = 1.95 ou 5.19 --> x = 1, y = 95 (ou vice-versa) ---> x + y = 96 ou x = 5, y = 19 --> x + y = 24
Para 119 = 1, 119 ou 7.17 --> x = 1, y = 119 (ou vice-versa) ---> x + y = 120 ou 7 + 17 = 24
e assim por diante
x.y + 1
-------- = inteiro positivo
.. 24
Múltiplos de 24 ---> 24, 48, 72, 96, 120 .....
x.y ........................23, 47, 71, 95, 119 .....
Para 23 = 1.23 ---> x = 1, y = 23 ---> x + y = 24
Para 47 = 1.47 --> x = 1, y = 47 (ou vice-versa) ---> x + y = 48
Para 71 = 1.71 --> x = 1, y = 71 (ou vice-versa) ---> x + y = 72
Para 95 = 1.95 ou 5.19 --> x = 1, y = 95 (ou vice-versa) ---> x + y = 96 ou x = 5, y = 19 --> x + y = 24
Para 119 = 1, 119 ou 7.17 --> x = 1, y = 119 (ou vice-versa) ---> x + y = 120 ou 7 + 17 = 24
e assim por diante
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Olimpíada da Índia
por purgatorium Ter 16 Mar 2021, 21:08
Para que x . y + 1 seja divisível por 24, x . y precisa resultar em um número ímpar, dessa forma percebe-se que x e y necessariamente são ímpares também.
Podemos escrever um número ímpar sendo (2 x número qualquer + 1). Portanto podemos escrever x como 2n +1 e y como 2m +1
Substituíndo na equação x + y, teremos:
((2n +1) + ( 2m + 1)) → 2n +1 + 2m + 1 →
→ 2n + 2m + 2 → 2( n + m + 1).
Para que 2( n + m + 1) seja divisível por 24, necessariamente ( n + m + 1) precisa ser par, múltiplo de 3 e ≥ 12 , dessa forma (n + m) é um número ímpar ≥ 11.
Para que essa soma resulte em um número ímpar, um dos números deve ser par e outro ímpar.
Como já dito antes, um número ímpar pode ser escrito como (2 x número qualquer + 1). Um número par pode ser simplesmente escrito como (2 x número qualquer).
Se substituirmos esses dados na equação ( n + m + 1), comprovaremos que ela resultará em um número par nessas condições.
Fazendo a analise de todos os dados ficará claro que x + y nas condições desses problema resultará em uma expressão :
(2 x 2 x 2 x 3 x número qualquer), portanto é divísivel por 24.
Podemos escrever um número ímpar sendo (2 x número qualquer + 1). Portanto podemos escrever x como 2n +1 e y como 2m +1
Substituíndo na equação x + y, teremos:
((2n +1) + ( 2m + 1)) → 2n +1 + 2m + 1 →
→ 2n + 2m + 2 → 2( n + m + 1).
Para que 2( n + m + 1) seja divisível por 24, necessariamente ( n + m + 1) precisa ser par, múltiplo de 3 e ≥ 12 , dessa forma (n + m) é um número ímpar ≥ 11.
Para que essa soma resulte em um número ímpar, um dos números deve ser par e outro ímpar.
Como já dito antes, um número ímpar pode ser escrito como (2 x número qualquer + 1). Um número par pode ser simplesmente escrito como (2 x número qualquer).
Se substituirmos esses dados na equação ( n + m + 1), comprovaremos que ela resultará em um número par nessas condições.
Fazendo a analise de todos os dados ficará claro que x + y nas condições desses problema resultará em uma expressão :
(2 x 2 x 2 x 3 x número qualquer), portanto é divísivel por 24.
purgatorium- Padawan
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