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INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL

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INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Empty INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL

Mensagem por Jvictors021 Qua 13 Out 2021, 18:50

Qual o conjunto solução da inequação 3|x-1| + x > |1-x| é: 

Gab: (-∞, +)


Bati muito a cabeça com essa questão, se puderem explica-la fico grato
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INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Empty Re: INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL

Mensagem por qedpetrich Qua 13 Out 2021, 19:20

Olá Jvictors;

Aplicando a definição modular para x-1:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png.latex?%7Cx-1%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x-1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%201%20%26%20%5C%5C%20-x+1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%3C%201%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Aplicando a definição modular para -x+1:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png.latex?%7C-x+1%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x-1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%201%20%26%20%5C%5C%20-x+1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%3C%201%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Se x ≥ 1, logo:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Como x ≥ 1, logo, nossa solução é a própria condição, temos:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Se x < 1, logo:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Como x < 1, logo, nossa solução é a própria condição, temos:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

A solução da inequação modular é dada pela união entre S1 e S2:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Espero ter ajudado!
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INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Empty Re: INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL

Mensagem por Jvictors021 Ter 19 Out 2021, 05:04

@qedpetrich escreveu:Olá Jvictors;

Aplicando a definição modular para x-1:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png.latex?%7Cx-1%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x-1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%201%20%26%20%5C%5C%20-x&plus;1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%3C%201%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Aplicando a definição modular para -x+1:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png.latex?%7C-x&plus;1%7C%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x-1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%5Cgeq%201%20%26%20%5C%5C%20-x&plus;1%2C%20%5C%20se%20%5C%20x%20%3C%201%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

Se x ≥ 1, logo:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Como x ≥ 1, logo, nossa solução é a própria condição, temos:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Se x < 1, logo:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Como x < 1, logo, nossa solução é a própria condição, temos:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

A solução da inequação modular é dada pela união entre S1 e S2:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Espero ter ajudado!
Muito bom qedpetrich, mas caso os 2 módulos tivessem restrições diferentes como eu prosseguiria ??

por exemplo: 3|x-2| + x > |1-x|

|x - 2| = (x-2) se x ≥ 2
|x - 2| = (-x+2) se x <  2
e
|1-x| = (1-x) se x ≤ 1
|1-x| = (-1+x) se x > 1
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Mensagem por Giovana Martins Ter 19 Out 2021, 09:30

Um outro jeito via resolução gráfica: sejam f(x)=3|x-1|+x e g(x)=|1-x|. Plotando ambos os gráficos:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Oie_t100

Note que para todo x real tem-se f(x) > g(x). Por exemplo, para x=±2 (retas tracejadas em vermelho), tem-se f(x) > g(x). Pela conformação gráfica de cada curva nota-se que o mesmo ocorre para os demais valores de x.

Nota: se houver dúvidas quanto ao esboço de cada curva ou sobre qualquer outra coisa, me avise.
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Mensagem por Jvictors021 Ter 19 Out 2021, 10:02

@Giovana Martins escreveu:
Um outro jeito via resolução gráfica: sejam f(x)=3|x-1|+x e g(x)=|1-x|. Plotando ambos os gráficos:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Oie_t100

Note que para todo x real tem-se f(x) > g(x). Por exemplo, para x=±2 (retas tracejadas em vermelho), tem-se f(x) > g(x). Pela conformação gráfica de cada curva nota-se que o mesmo ocorre para os demais valores de x.

Nota: se houver dúvidas quanto ao esboço de cada curva ou sobre qualquer outra coisa, me avise.
Muito bom mesmo giovana.... faz todo o sentido o problema era eu ter pensado nisso na resolução hahahaha!! Parabéns, vc é fera
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Mensagem por Giovana Martins Ter 19 Out 2021, 10:26

Ah, até alguém me ensinar a resolver questões dessa forma eu também não sabia muito bem como proceder Smile. Bom que agora você tem duas alternativas de resolução para questões assim. Se você se deparar com outra questão assim, basta resolvê-la de modo semelhante. A propósito, se você ainda não conhece o Geogebra, sugiro que você o use, especialmente em questões sobre funções. Esse software ajuda demais nos estudos.
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INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Empty Re: INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL

Mensagem por qedpetrich Ter 19 Out 2021, 13:39

@Jvictors021 escreveu:Muito bom qedpetrich, mas caso os 2 módulos tivessem restrições diferentes como eu prosseguiria ??

por exemplo: 3|x-2| + x > |1-x|

|x - 2| = (x-2) se x ≥ 2
|x - 2| = (-x+2) se x <  2
e
|1-x| = (1-x) se x ≤ 1
|1-x| = (-1+x) se x > 1

Aplicou corretamente as definições modulares, prossegue-se desta forma:

Se x ≥ 2, logo:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Mas como condição x ≥ 2, portanto:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Se 1 < x < 2, logo:

 INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Mas como condição 1 < x < 2, portanto:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Se x ≤ 1, logo:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Mas como condição x ≤ 1, portanto:

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Nossa solução para a inequação modular como um todo é dada pela união de S1 U S2 U S3 :

INEQUAÇÂO MODULAR- ESCOLA NAVAL  Png

Nesses casos é mais inteligente recorrer as soluções gráficas como a Giovana Martins explorou. É tanta operação e restrição que fica fácil acabar negligenciando alguma parte. Pegue a dica da colega e desfrute do Geogebra, realmente é uma ferramenta muito útil que salva demaisss, vai ajudar bastante para seu aprendizado. De qualquer forma espero que tenha clareado sua mente!
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