Escola Naval 1988 - Inequação modular

O conjunto solução da inequação 3|x-1| + x > |1-x| é: 
Resposta: (-∞,∞) 
Não entendi pq esse resultado se os valores de x são ⅔2

Júliawww_520 escreveu:O conjunto solução da inequação 3|x-1| + x > |1-x| é: 
Resposta: (-∞,∞) 
Não entendi pq esse resultado se os valores de x são ⅔2

Não entendi a sua pergunta. A resposta ser (-∞,∞) significa que a desigualdade é verdadeira para qualquer valor possível de x. Por exemplo,  para x  = 101 por exemplo, temos:

3|x-1| + x  = 3|101-1| + 101 = 401

|1-x| = |1-101| = |-101| = 101

Como 401 > 101 segue que 3|x-1| + x  >  |1-x| para esse valor de x. E isso acontece pra qualquer outro valor.


Agora vamos resolver a questão:
Notamos primeiro que |1-x| = |x-1|. Com isso temos:

3|x-1| + x > |1-x|
3|x-1| +x > |x-1|
3|x-1| + x - |x-1| > 0
2|x-1| + x > 0

Agora vamos analisar caso a caso.

1º Caso: Se x for maior ou igual a 1.
Nessa situação temos |x-1| = x-1, pois x-1 é positivo. Logo, a desigualdade é equivalente a:
2|x-1| + x > 0
2(x-1)+x > 0
2x - 2 + x > 0
3x > 2
x > 2/3
Repare que essa ultima desigualdade é verdadeira, pois estamos supondo que x ≥ 1. Ou seja, pra qualquer valor de x maior ou igual a 1 temos que x > 2/3. E daí temos também que 2|x-1| + x > 0.

2° Caso: Se x for menor que 1.
Nessa situação temos |x-1| = 1-x, pois x-1 é negativo. Logo, a desigualdade é equivalente a:
2|x-1| + x > 0
2(1-x)+x > 0
2 - 2x + x > 0
2 > x
x < 2
Repare que essa ultima desigualdade é verdadeira, pois estamos supondo que x < 1. Ou seja, pra qualquer valor de x < 1 temos que x < 2. E daí temos também que 2|x-1| + x > 0.

Juntando os dois casos concluímos que 2|x-1| + x > 0 para qualquer valor de x.

DaoSeek escreveu:

Júliawww_520 escreveu:O conjunto solução da inequação 3|x-1| + x > |1-x| é: 
Resposta: (-∞,∞) 
Não entendi pq esse resultado se os valores de x são ⅔2

Não entendi a sua pergunta. A resposta ser (-∞,∞) significa que a desigualdade é verdadeira para qualquer valor possível de x. Por exemplo,  para x  = 101 por exemplo, temos:

3|x-1| + x  = 3|101-1| + 101 = 401

|1-x| = |1-101| = |-101| = 101

Como 401 > 101 segue que 3|x-1| + x  >  |1-x| para esse valor de x. E isso acontece pra qualquer outro valor.


Agora vamos resolver a questão:
Notamos primeiro que |1-x| = |x-1|. Com isso temos:

3|x-1| + x > |1-x|
3|x-1| +x > |x-1|
3|x-1| + x - |x-1| > 0
2|x-1| + x > 0

Agora vamos analisar caso a caso.

1º Caso: Se x for maior ou igual a 1.
Nessa situação temos |x-1| = x-1, pois x-1 é positivo. Logo, a desigualdade é equivalente a:
2|x-1| + x > 0
2(x-1)+x > 0
2x - 2 + x > 0
3x > 2
x > 2/3
Repare que essa ultima desigualdade é verdadeira, pois estamos supondo que x ≥ 1. Ou seja, pra qualquer valor de x maior ou igual a 1 temos que x > 2/3. E daí temos também que 2|x-1| + x > 0.

2° Caso: Se x for menor que 1.
Nessa situação temos |x-1| = 1-x, pois x-1 é negativo. Logo, a desigualdade é equivalente a:
2|x-1| + x > 0
2(1-x)+x > 0
2 - 2x + x > 0
2 > x
x < 2
Repare que essa ultima desigualdade é verdadeira, pois estamos supondo que x < 1. Ou seja, pra qualquer valor de x < 1 temos que x < 2. E daí temos também que 2|x-1| + x > 0.

Juntando os dois casos concluímos que 2|x-1| + x > 0 para qualquer valor de x.

É que houve erro de digitação, além de eu n ter explicado direito . Enfim, oq eu não tinha entendido é o resultado ter dado (-∞,∞) sendo que, quando eu resolvi a inequação eu achei ⅔ < x < 2

Júliawww_520 escreveu:É que houve erro de digitação, além de eu n ter explicado direito . Enfim, oq eu não tinha entendido é o resultado ter dado (-∞,∞) sendo que, quando eu resolvi a inequação eu achei ⅔ < x < 2

Ahhh sim, agora entendi a dúvida. O que acho que você pensou foi o seguinte:

Dividiu em dois casos como eu, no primeiro encontrou x > 2/3 e no segundo achou x < 2. E daí concluiu que a solução é a interseção entre essas duas desigualdades é a solução do problema. Ou seja, você fez algo como \( (\frac 23, \infty) \cap (-\infty, 2) = (\frac 23, 2) \)  para obter a solução. Isso está incorreto.

A solução é obtida assim:

\(  \left(  [1, \infty) \cap \left( \frac 23, \infty \right) \right) \cup \left( (- \infty, 1) \cap ( - \infty, 2 ) \right)  = [1, \infty)  \cup  (- \infty, 1)  = (-\infty, \infty)\)

Vou explicar o que isso quer dizer.
Quando dividimos nos casos \(x \geq 1 \)  e \(x <1\), estamos analisando as soluções que satisfazem essas condições. Ou seja, no primeiro caso estamos buscando as soluções que estão no intervalo \( [1, \infty)\) e no segundo caso, buscamos as soluções que estão no intervalo \( (-\infty, 1)\). Assim, quando encontramos  x>2/3 no primeiro caso, o que de fato temos como possíveis soluções é a interseção \( [1, \infty) \cap \left( \frac 23, \infty \right)\). O mesmo acontece no segundo caso. Resolvido cada caso, temos que juntar (união) todas as possibilidades, por isso a resposta será:

\(  \underbrace{ \left(  [1, \infty) \cap \left( \frac 23, \infty \right) \right)}_{\text{1º Caso}} \cup  \underbrace{\left( (- \infty, 1) \cap ( - \infty, 2 ) \right)}_{\text{2º Caso}}\)