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Valor máximo de x + y

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Valor máximo de x + y - Página 2 Empty Valor máximo de x + y

Mensagem por JaquesFranco Sab 09 Out 2021, 22:35

Relembrando a primeira mensagem :

Sejam x e y inteiros que satisfazem à equação a seguir. Qual é o maior valor possível de x+y? 


x².(y-1) + 
y².(x-1) = 1


a) -3
b) -1
c) 1
d) 3
e) 5


Última edição por JaquesFranco em Dom 10 Out 2021, 14:02, editado 1 vez(es)
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Valor máximo de x + y - Página 2 Empty Re: Valor máximo de x + y

Mensagem por Elcioschin Dom 10 Out 2021, 14:30

Acho que você está certo e o raciocínio é simples (não foi chutômetro):

Você fez uma das parcelas igual a 0 e a outra igual a 1

Para uma delas ser zero basta fazer x = 1 ou y = 1
Ai basta calcular o valor de y ou de x na outra parcela: ou y = 2 ou x = 2
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Valor máximo de x + y - Página 2 Empty Re: Valor máximo de x + y

Mensagem por qedpetrich Dom 10 Out 2021, 14:52

Sim, fiquei um pouco inseguro por justamente não apresentar nenhuma alternativa e nenhum gabarito. Mas creio que seja desta forma mesmo!

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Valor máximo de x + y - Página 2 Empty Re: Valor máximo de x + y

Mensagem por Edu lima Dom 10 Out 2021, 18:46

Eu tbm já tentei que só. Adotei vários caminhos, e em nenhum deles consegui obter uma relação entre x e y.

Fui dá uma olhada no wolfram, e a resposta é justamente essa que Petrich sugeriu através do teste(ou famoso "chutômetro" como é mais conhecido rsrs).

A solução gerada foi:

Valor máximo de x + y - Página 2 WFZowuVJ8SlygAAAABJRU5ErkJggg==

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Mensagem por Matheus Tsilva Seg 23 Jan 2023, 18:17

vou deixar um rascunho meu sobre a questão e uma ideia que eu vi uma vez:


Desenvolvendo os termos do enunciado, temos:

x^2.y - x^2 + y^2.x - y^2 = 1

x.y.(x + y) - (x^2 + y^2) = 1

Somando e subtraindo 2.x.y, teremos:

x.y(x + y) + 2.x.y - (x^2 + 2.x.y + y^2) = 1

Passando para o outro lado, teremos:

(x + y)^2 - x.y.(x + y) + 1 - 2.x.y = 0

Chamando (x + y) de z, teremos:

z^2 - x.y.z + 1 - 2.x.y = 0

Tirando o delta em relação a equação do segundo grau em relação à z:

delta = (x.y)^2 - 4(1)(1 - 2.x.y)
delta = (x.y)^2 + 8.(x.y) - 4

Temos que como z é inteiro, por x e y serem inteiros, o nosso delta deve ser um quadrado perfeito:

(x.y)^2 + 8.(x.y) - 4 = w^2, onde w é um inteiro

Completando o quadrado em relação a x.y, teremos:

(x.y + 4)^2 - 20 = w^2

Logo, (x.y + 4)^2 - w^2 = 20

Repare que a diferença entre os dois quadrados perfeitos de dois inteiros é igual a 20, então escrevendo alguns inteiros:

1^2 , 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2, ... =>

1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...

Percebemos que 36 - 16 dá o 20, com isso:

(x.y + 4)^2 = 6^2 ---> (x.y + 4) = 6 e w^2 = 4^2 ---> w = 4 

x.y = 2, logo um deles igual a 1 e o outro igual a 2.
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