Geometria Analítica

por luanaana12344 Ter 28 Set 2021, 11:08

Os pontos A = (a1, a2) e C = (c1, c2) são vértices opostos de um quadrado. Determine os outros dois vértices.

por FreddieMercury Sex 01 Out 2021, 08:33

Opa.

Lembre que a diagonal de um quadrado é igual ao lado multiplicado de raiz de dois, então o lado de um quadrado será igual a diagonal dividida por raiz de dois.

[latex]AC=\sqrt{(a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2}}[/latex]

Seja B ( b1,b2 )

[latex]AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}[/latex]

[latex]AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}[/latex]

[latex]\sqrt{(b1-a1)^{2}+(b2-a2)^{2}}=\frac{\sqrt{(a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2}}}{\sqrt{2}}[/latex]

[latex]{(b1-a1)^{2}+(b2-a2)^{2}}=\frac{{(a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2}}}{{2}}[/latex]

(I) ----- [latex]b1^{2}-2b1a1+a1^{2}+b2^{2}-2b2a2+a2^{2}=\frac{{(a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2}}}{{2}}[/latex]

[latex]BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}[/latex]

[latex]\sqrt{(b1-c1)^{2}+(b2-c2)^{2}}=\frac{\sqrt{(a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2}}}{\sqrt{2}}[/latex]

[latex]{(b1-c1)^{2}+(b2-c2)^{2}}=\frac{{(a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2}}}{{2}}[/latex]

(II) ----- [latex]b1^{2}-2b1c1+c1^{2}+b2^{2}-2b2c2+c2^{2}=\frac{{(a1-c1)^{2}+(a2-c2)^{2}}}{{2}}[/latex]

(I) - (II) =

[latex]-2b1(a1-c1)+a1^{2}-c1^{2}-2b2(a2-c2)+a2^{2}-c2^{2}=0[/latex]

(III) ---- [latex]b1=\frac{a1^{2}-c1^{2}-2b2(a2-c2)+c2^{2}-a2^{2}}{2}[/latex]

Substituindo (III) em (I) :

[latex]\left ( \frac{a1^{2}-c1^{2}-2b2(a2-c2)+c2^{2}-a2^{2}}{2}-a1 \right )^{2}+(b2-a2)^{2}=\frac{(AC)^{2}}{2}[/latex]

[latex]\left [ \frac{2b2(c2-a2)+a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1}{2} \right ]^{2}+(b2-a2)^{2}=\frac{(AC)^{2}}{2}[/latex]

[latex]\left [ \frac{2b2(c2-a2)+(a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1)}{2} \right ]^{2}+(b2-a2)^{2}=\frac{(AC)^{2}}{2}[/latex]

[latex] \frac{[2b2(c2-a2)]^{2}+4b2(c2-a2)(a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1)+(a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1)^{2}}{4} +(b2-a2)^{2}=\frac{(AC)^{2}}{2}[/latex]

[latex]b2^{2}[4(c2-a2)^{2}+4]+b2[4(c2-a2)(a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1)-8a2]+[(a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1)^{2}+4a2^{2}]=2(AC)^{2}[/latex]

[latex]b2^{2}[4(c2-a2)^{2}+4]+b2[4(c2-a2)(a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1)-8a2]+[(a1^{2}-c1^{2}+c2^{2}-a2^{2}-2a1)^{2}+4a2^{2}-2(AC)^{2}]=[/latex]

Perceba que agora temos uma equação do segundo grau na forma [latex]Ax^{2}+Bx+C=0[/latex]

basta fazermos [latex]x=\frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4AC}}{2}[/latex] .
Assim encontraremos dois possíveis resultados para o b2, os quais seriam os vértices em relação ao eixo das ordenadas no plano cartesiano dos pontos B e D, bastando apenas substituir os respectivos valores em uma das equações, (I) ou (II), assim teríamos os eixos das abscissas de cada um.

por **Ashitaka** Sex 01 Out 2021, 09:41

luanaana12344 escreveu:Os pontos A = (a1, a2) e C = (c1, c2) são vértices opostos de um quadrado. Determine os outros dois vértices.

Acho que essa é mais fácil de resolver por rotação de vetores ou números complexos. Vou fazer com complexos. Nós temos o vetor AC = (c1-a1, c2-a2) e basta multiplicar o vetor AC por cis(+-45º) para encontrar o vetor dos lados AB e AD, respectivamente, ou seja:

AB' = [(c1-a1) + i(c2-a2)]*[1/√2 + i/√2]
AD' = [(c1-a1) + i(c2-a2)]*[1/√2 - i/√2]

Porém, uma correção aqui é necessária. Ao multiplicar por cis(+-45), está ocorrendo apenas rotação. É necessário arrumar também o módulo do vetor. Como digonal = lado*√2, basta dividir AB' e AD' por √2.

AB = [(c1-a1) + i(c2-a2)]*[1/2 + i/2]
AD = [(c1-a1) + i(c2-a2)]*[1/2 - i/2]

AB = (c1-a1)/2 - (c2-a2)/2 + i*(c2-a2+c1-a1)/2
AD = (c1-a1)/2 + (c2-a2)/2 + i*(c2-a2-c1+a1)/2

AB = (c1-c2-a1+a2)/2 + i*(c1+c2-a1-a2)/2
AD = (c1+c2-a1-a2)/2 + i*(-c1+c2+a1-a2)/2

Voltando para a forma de coordenadas:
B - A = ([c1-c2-a1+a2]/2, [c1+c2-a1-a2]/2)
D - A = ([c1+c2-a1-a2]/2, [-c1+c2+a1-a2]/2)

B = ([c1-c2-a1+a2]/2, [c1+c2-a1-a2]/2) + (a1, a2)
D = ([c1+c2-a1-a2]/2, [-c1+c2+a1-a2]/2) + (a1, a2)

B = ([c1-c2+a1+a2]/2, [c1+c2-a1+a2]/2)
D = ([c1+c2+a1-a2]/2, [-c1+c2+a1+a2]/2)

Se não errei nada, deve ser isso. Confere aí.

por **Medeiros** Sáb 02 Out 2021, 23:38

Quando vi esta questão imediatamente me veio a mente duas coisas:
1) responder como um gaiato que B=(b1, b2) e D=(d1, d2) -- morri de vontade e mordi a ponta do cerebelo mas não fiz isto (vou pro céu!);
2) como o Ashitaka, resolver por vetores/complexos mas com uma abordagem ligeiramente diferente. Não o fiz antes por falta do tempo que tenho agora.

Na resposta que dou agora tenha em mente que considero um vetor ao mesmo tempo que considero ele um número complexo, por exemplo: [latex]\vec{a}=(x, y)=x+iy[/latex]

Seja G o baricentro do quadrado (encontro das diagonais). Como temos um quadrado fica muito mais fácil considerar a rotação em 90° do vetor GA.

[latex]G=\left(\frac{a_{1}+c_{1}}{2}\,,\,\frac{a_{2}+c_{2}}{2} \right )[/latex]

[latex]\vec{u}=\vec{GA}=\left(\frac{a_{1}-c_{1}}{2}\,,\,\frac{a_{2}-c_{2}}{2} \right )=\frac{a_{1}-c_{1}}{2}+i\cdot\frac{a_{2}-c_{2}}{2}[/latex]

Para obter o vetor v=GB pasta rotacionar no sentido horário o vetor u, o que fazemos simplesmente multiplicando este por i -- o que equivale a multipllicar o nº complexo do vetor por cis90º.

[latex]\vec{v}=i.\vec{u}=\left(\frac{c_{2}-a_{2}}{2}\,,\,\frac{a_{1}-c_{1}}{2} \right )[/latex]

E agora basta aplicar o vetor v ao ponto G.

[latex]B=G+\vec{v}\,\,\,\rightarrow\,\,\, B=\left(\frac{a_{1}-a_{2}+c_{1}+c_{2}}{2}\,,\,\frac{a_{1}+a_{2}-c_{1}+c_{2}}{2} \right )[/latex]

[latex]D=G-\vec{v}\,\,\,\rightarrow\,\,\, D=\left(\frac{a_{1}+a_{2}+c_{1}-c_{2}}{2}\,,\,\frac{-a_{1}+a_{2}+c_{1}+c_{2}}{2} \right )[/latex]

por **Ashitaka** Dom 03 Out 2021, 12:42

Medeiros escreveu:Quando vi esta questão imediatamente me veio a mente duas coisas:
1) responder como um gaiato que B=(b1, b2) e D=(d1, d2) -- morri de vontade e mordi a ponta do cerebelo mas não fiz isto (vou pro céu!);
2) como o Ashitaka, resolver por vetores/complexos mas com uma abordagem ligeiramente diferente. Não o fiz antes por falta do tempo que tenho agora.

Quando resolvi, eu fiquei em dúvida se fazia como fiz ou como você fez, partindo de G. De qualquer forma, agora as duas resoluções constam no tópico, e as nossas respostam batem! Só nossos pontos B e D que ficaram trocados, mas isso não é um problema.

por **Medeiros** Dom 03 Out 2021, 18:43

Ashitaka escreveu:Quando resolvi, eu fiquei em dúvida se fazia como fiz ou como você fez, partindo de G. De qualquer forma, agora as duas resoluções constam no tópico, e as nossas respostam batem! Só nossos pontos B e D que ficaram trocados, mas isso não é um problema.

Eu, de cara, imaginei o baricentro porque a rotação fica muito mais fácil e já com o módulo adequado, gerando menos conta e menos chance de erro.
Olhei a sua resposta apenas quanto a estratégia para resolução e não conferi as contas -- não tenho paciência para isso, quem tem são aqueles com pendor para professor tal qual nosso colega Élcio. Depois de fazer minhas contas, ohei sua última linha e vi que estavam diferentes; agora você corrigiu e entendo que antes havia erro de conta ou esquecimento. De qualquer forma são duas boas resoluções, a sua mais explicada e didática que a minha.

por **Ashitaka** Dom 03 Out 2021, 21:30

Sim, até disse para conferirem a conta porque achei estranho a ausência de um termo na minha resposta, mas não estava com tempo de verificar. A correção do módulo não era um problema nesse caso porque era bem simples de fazer. No fim, era um pequeno detalhe na passagem pra última linha (somei A/2 em vez de somar A). Se a minha ficou mais didática foi só porque tive que fazer as contas e já aproveitei pra fazer organizado e postar, mas a sua é mais sucinta por não ter que que explicar a correção do módulo (foi um dos motivos que pensei em fazê-la, é um passo a menos pra confundir quem postou).
Acho que usar complexos nessas questões é uma tática imbatível, parece nunca ter soluções melhores nem com matrizes ou produtos escalares.