Números complexos

Considere o número complexo [latex]z=\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i[/latex] e determine o valor do menor número natural n que torna o resultado da expressão [latex]z\cdot z^{2}\cdot z^{3}... z^{n}[/latex] um número real positivo.

Boa noite.

z = cos(60) + i sen(60)

Chamando de "P" o produto pedido no enunciado:
P = [cos(60) + i sen(60)]*[cos(120) + i sen(120)]*[cos(180) + i sen(180)]*...*[cos(n*60) + i sen(n*60)]
P = [cos(60+120+180+...+n*60) + i sen(60+120+180+...+n*60)]

Para que P resulte em um numero real, a parte imaginária deve ser igual a zero:
sen(60+120+180+...+n*60) = 0
60+120+180+...+n*60 = k*180, k∈ℕ

A soma do lado direito da equação é uma P.A. de razão 60, assim:
(60+n*60)n/2 = k*180
n(n+1)=6*k

O menor valor natural de n será quando k=5, pois do lado esquerdo da equação temos o produto de dois números consecutivos, e do direito, temos 6*k, implicando em k ser consecutivo de 6, ou seja, 5.
Substituindo k por 5, chegamos em n=5.

Abraços