analítica- reta

QUESTÃO 85 _21_ENEM_MAT_RN_L4_Q01

 Em certa cooperativa de agricultores, várias famílias trabalham em uma fazenda comunitária cuja área apresenta formato de quadrado. Em virtude de uma contaminação com substâncias tóxicas, uma parte do solo dessa fazenda foi comprometida. Para analisar a extensão dessa contaminação, realizou-se um mapeamento em que o centro da fazenda foi situado na origem de um plano cartesiano. Desse modo, o estudo concluiu que, nesse plano, todos os pontos da fazenda que se encontram abaixo da reta de equação 3x – 5y + 17 = 0 correspondem à área contaminada. Considere que, nesse mapeamento, a parte da fazenda cultivada por uma das famílias dessa cooperativa seja representada pelo quadrado de vértices A = (–5, 1), B = (1, 1), C = (1, 7) e D = (–5, 7). 

Nessas condições, em relação à área cultivada apenas por essa família, a fração que indica a parte do solo comprometida pela contaminação é:

A 5/ 24 
B 5/ 12 
C 1 /2 
D 7 /12 
E 19 /24 Gabarito: A

Olá Gemma Galgani;

Essa questão é um pouco trabalhosa, talvez alguem conheça algum método mais simples e prático, vou fazer pelo caminho que achei mais natural. Dispondo os pontos dados do enunciado A = (-5,1) ; B = (1,1) ; C = (1,7) ; D = (-5,7) ; em um plano xoy, e a reta dada como y = (3x+17)/5, temos a seguinte configuração:



Perceba que a reta tem como intersecção o segmento de reta AB, e o segmento de reta BC. Para descobrir quais são estes pontos, podemos igualar as equações de retas, vou chamar de E o ponto de interseção da reta dada com a reta AB, e de ponto F o ponto de interseção da reta dada com a reta BC, ou seja:





A área contaminada da fazenda corresponde à área do triângulo retângulo de base EB e altura BF, pode-se calcular a distância entre os pontos para saber o módulo de cada parte:





A área do triângulo é dada como:



A área total da fazenda corresponde à área do quadrado ABCD, ou seja:



Fazendo uma relação entre a área contaminada e a área total, logo:



Espero ter ajudado!