Polinômios-Olimpíadas

Sabendo que g(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1. Calcule o resto da divisão entre os polinômios g(x^{12}) por g(x) é:
A) 6
B) 5-x
C) 3-x+x^{2}
D) 3-x+x^{2}-x^{3}
E) 2

vamos usar aquela conhecida fatoração de x^n-1
[latex]g(x^{12})=x^{60}+x^{48}+x^{36}+x^{24}+x^{12}+1[/latex]
Observe que quase todos os termos desse polinomio são da forma [latex]x^{6k}[/latex], 
mas
[latex]\begin{align*}
x^{6k}-1&=(x^6)^k-1\\
&=(x^6-1)p_k(x)\\
&=(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)p_k\\
&=g(x)q_k(x)
\end{align*}[/latex]
onde pk e qk são polinomios.
Assim,
[latex]g(x^{12})=(x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1)+6[/latex]
[latex]=g(x)q_5(x)+g(x)q_4(x)+g(x)q_3(x)+g(x)q_2(x)+g(x)q_1(x)+6=g(x)k(x)+6[/latex]
portanto o resto da divisão é 6
se não tiver entendido algo falaê

Cara, tu pode me dar uma explicação mais detalhada desse método, eu aplico geralmente o dispositivo de Girard ou uso P(X)=G(X).D(X)+R(X), mas queria entender esse seu uso aí,  se você puder me dar uma explicação bem grosseira.

ok, é o seguinte
a gente sabe que vale a fatoração
[latex]x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^2+x+1).[/latex]


Se n é múltiplo de 6, ou seja, n=6k, temos

[latex]x^{n}-1=x^{6k}-1=(x^6)^k-1=(x^6-1)((x^6)^{k-1}+\dots+x^6+1)=(x^6-1)p(x)[/latex],
onde p é um polinomio


por sua vez,


[latex]x^6-1=(x-1)(x^5+x^4+\dots+1)=(x-1)g(x)[/latex]


mas então


[latex]x^{6k}-1=(x^6-1)p(x)=(x-1)g(x)p(x)=g(x)q(x)[/latex],
onde q é polinomio.


aplicando tudo isso que  agente descobriu, vc pode perceber que todos, 60, 48, ..., 12 são multiplos de 6, assim

[latex]\begin{align*}
x^{60}+x^{48}+x^{36}+x^{24}+x^{12}+1&=(x^{60}-1)+(x^{48}-1)+(x^{36}-1)+(x^{24}-1)+(x^{12}-1)+6\\
&= g(x)q_5(x)+g(x)q_4(x)+g(x)q_3(x)+g(x)q_2(x)+g(x)q_1(x)+6\\
&=g(x)(q_5(x)+q_4(x)+q_3(x)+q_2(x)+q_1(x))+6\\
&=q(x)g(x)+6
\end{align*}[/latex]
onde qi são polinomios e q é a soma de todos os qi, portanto tbm um polinomio
então descobrimos que
[latex]g(x^{12})=q(x)g(x)+6[/latex]
além disso, perceba que o grau de r(x)=6 é menor que o grau de g(x), resta que r é o resto da divisão de g(x^12) por g(x)




deu pra entender melhor?

Uma maneira alternativa de resolver é utilizando a idéia de congruência entre polinômios, que talvez facilite pra tu entender. Tipo, g(x) = 0mod(g(x)) significa que o g(x) deixa resto 0 na divisão por g(x), o que é obvio, pois ctz g(x) divide o g(x).Veja também que a congruência se preserva pra multiplicação, pq imagina que tu tem 2 deixa resto 0 dividido por 2, fica claro que tu também vai ter 4x2 deixa resto 0 por 2, sacou? ai usei essa idéia pra multiplicar por (x-1) e chegar no produto notável x^6 -1. Perceba que somando 1 dos dois lados é obvio que o resto agora vai ser 1(usa o mesmo pensamento do resto 0 que eu disse acima, pensar em números invés de polinômios ajuda bastante), e ai fica x^6 = 1mod(g(x)), multiplicando por x^6, x^12 = 1mod(g(x)), ou seja, x^12 deixa resto 1 quando dividido por g(x), ai só usei essa idéia de congruência quando substituir x^12 no g(x) que fica bonitinho também.
Acho esse pensamento legal pq é basicamente a mesma coisa de dividir por números, ai fica mais tranqüilo de entender.