equações trigonométricas - fuvest

Determine os números reais x e y, com 0 < x+y < ∏  (menor ou igual e maior ou igual) e 0 < y < ∏, tais que


sen x sen y = -1/4
cos(x+y) + cos(x-y) = 3/2

Infelizmente, não tenho o gabarito nem a resolução. Justamente por isso preciso da ajuda para verificar minha resposta
Como fiz:

cos x cos y - sen x sen y + cos x cos y + sen x sen y  = 3/2
2 cos x cos y = 3/2
cos x = 3/4 cos y (I) 

de sen x sen y = -1/4, vem:
sen x = -1/4seny (II)

Relação fundamental da trigonometria: sen^2  (x) + cos^2 (x) = 1
substituindo I e II e resolvendo as continhas, obtive:

16 sen^4 (y) - 8 sen^2 (y) + 1 = 0

substituí sen^2 (x) por K e resolvi a equação

sen y = +- 1/2 

Obedecendo à condição de y, sen y = 1/2.
Portanto, sen x = -1/2.

Mas como atender à condição de x + y < ∏ ? Existe algum modo mais elegante de resolver?

Tente transformar a 1ª equação em uma soma,fazendo o processo inverso ao proposto pela relação de prostaférese:

sen x sen y = -1/4

-2sen(x)sen(y) = 1/2

cos(x+y) - cos(x-y) = 1/2 (I)
cos(x+y) + cos(x-y) = 3/2(II)

Em posse das duas equações,podemos somá-las,obtendo:

2cos(x+y) = 2
cos(x+y) = 1(III)

x+y = 0(uma vez que x+y está entre 0 e π)

Substituindo (III) em (II):

cos(x-y) = 1/2 => x-y = π/3 ou x-y = -π/3

1º Caso: x+y = 0 e x-y = π/3

x+y=0 => y=-x

Substituindo na 2ªequação:

2x = π/3

x = π/6;y = -π/6

Essa solução não convém,já que 0 < y < π

2º Caso:x+y = 0 e x-y = -π/3

Somando as duas equações:

2x = -π/3

x = -π/6

Substituindo em alguma das duas equações:

y = π/6

Aproveitando o que vc já fez...

sen(x)*sen(y) = -1/4
cos(x)*cos(y) = 3/4

A partir dessas duas informações acima, podemos pensar da seguinte forma:

cos(y+x) = cos(x)*cos(y)-sen(x)*sen(y) =3/4+1/4 = 1
cos(y-x) =cos(x)*cos(y)+sen(x)*sen(y) =3/4 -1/4 =1/2

Logo, a partir desses resultados podemos inferir que:

y+x = 0º
y-x = 60º

2y =60º

y=30º e x =-30

y=pi/6= 0,52 e 

x =-pi/6=-0,52

Como a condição foi apenas para y, ou seja, de y está no intervalo do 0 a 3,14, então as resposta foi atendida para y.

E para x como não falou nada a respeito de x, então ele pode ser negativo.

O que falou foi que: X+Y = -0,52+0,52 = 0, que estaria tbm dentro do intervalo anunciado. 

Acredito que seja assim.

Bom dia a todos.

Eduardo, eu vi sua prostaférese, e creio que você cometeu um equivoco, veja:

sen x sen y = -1/4

-2sen(x)sen(y) = 1/2

cos(x-y) - cos(x+y) = 1/2 (I)
cos(x+y) + cos(x-y) = 3/2(II)


Como resultado temos o formato: -2sen[(p+q)/2]sen[(p-q)/2], ou seja, podemos fazer que ->

(p+q)/2 = x e (p-q)/2 = y -> p = (x+y) e q = (x-y)

cos(x+y) - cos(x-y) = 1/2 (I)
cos(x+y) + cos(x-y) = 3/2 (II)

Somando (I) com (II):

2cos(x+y) = 2 -> cos(x+y) = 1 -> x+y = 0. Logo x = -y

Substituindo em (II):

cos(0) + cos(2x) = 3/2 -> cos(2x) = 1/2 -> cos(2x) = cos(π/3) -> x = π/6 ou x = -π/6

Se x = π/6, então y = -π/6

Se x = -π/6, então y = π/6

Onde todos os valores encontrados se encontram no intervalo determiado.

Acredito que seja isto, espero ter ajudado!

qedpetrich escreveu:Bom dia a todos.

Eduardo, eu vi sua prostaférese, e creio que você cometeu um equivoco, veja:

sen x sen y = -1/4

-2sen(x)sen(y) = 1/2

cos(x-y) - cos(x+y) = 1/2 (I)
cos(x+y) + cos(x-y) = 3/2(II)


Como resultado temos o formato: -2sen[(p+q)/2]sen[(p-q)/2], ou seja, podemos fazer que ->

(p+q)/2 = x e (p-q)/2 = y -> p = (x+y) e q = (x-y)

cos(x+y) - cos(x-y) = 1/2 (I)
cos(x+y) + cos(x-y) = 3/2 (II)

Somando (I) com (II):

2cos(x+y) = 2 -> cos(x+y) = 1 -> x+y = 0. Logo x = -y

Substituindo em (II):

cos(0) + cos(2x) = 3/2 -> cos(2x) = 1/2 -> cos(2x) = cos(π/3) -> x = π/6 ou x = -π/6

Se x = π/6, então y = -π/6

Se x = -π/6, então y = π/6

Onde todos os valores encontrados se encontram no intervalo determiado.

Acredito que seja isto, espero ter ajudado!

Realmente,caro qedpetrich,errei ali no uso da Prostaférese. Enganei-me porque esqueci que a função seno é ímpar,logo,ao efetuarmos a relação,ficaríamos com:

cos(x-y) - cos(x+y) = -2senxsen(-y) => 2sen(x)sen(y) = cos(x-y) - cos(x+y)

Obrigado pelo toque,qedpetrich,vou editar a minha mensagem.

Show!! De nada amigo.

Obrigada, gente!