(China) - Trigonometria
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(China) - Trigonometria
por eduardodudu101 Ter 17 Ago 2021, 13:43
Sabendo que [latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right ) + 6sen^^{2}\left ( \frac{\pi}{14} \right ) - 8sen^^{4}\left ( \frac{\pi}{14} \right )[/latex]. Então o valor de 2012.S é igual a:
a)[latex]2012[/latex]
b)[latex]1006[/latex]
c)[latex]1006\sqrt{3}[/latex]
d)[latex]1006\sqrt{2}[/latex]
e)[latex]503\sqrt{3}[/latex]
a)[latex]2012[/latex]
b)[latex]1006[/latex]
c)[latex]1006\sqrt{3}[/latex]
d)[latex]1006\sqrt{2}[/latex]
e)[latex]503\sqrt{3}[/latex]
- Gabarito:
- B
Última edição por eduardodudu101 em Qua 18 Ago 2021, 09:53, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Gabarito errado)
eduardodudu101- Jedi
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Re: (China) - Trigonometria
por RatinhoPequenino Ter 17 Ago 2021, 14:21
Não faço ideia de como começar resolver, mas por quê ''China'' ? Essa questão tem em algum livro?
RatinhoPequenino- Recebeu o sabre de luz
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Re: (China) - Trigonometria
por eduardodudu101 Ter 17 Ago 2021, 19:49
Provavelmente é de alguma olimpíada.RatinhoPequenino escreveu:Não faço ideia de como começar resolver, mas por quê ''China'' ? Essa questão tem em algum livro?
eduardodudu101- Jedi
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Re: (China) - Trigonometria
por eduardodudu101 Qua 18 Ago 2021, 01:06
Para quem se interessar,achei a seguinte saída:
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right ) + 2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )\left [ 3sen\left ( \frac{\pi}{14} \right ) - 4sen^^{3}\left ( \frac{\pi}{14} \right ) \right ][/latex]
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right ) + 2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )sen\left ( \frac{3\pi}{14} \right )[/latex]
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )\left [ 1 + 2sen\left ( \frac{3\pi}{14} \right ) \right ][/latex]
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )\left [ 1 + 2cos\left ( \frac{4\pi}{14} \right ) \right ][/latex]
Deixando a expressão acima de lado:
[latex]sen(3\theta) = 3sen\theta - 4sen^^{3}\theta[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 3 - 4sen^^{2}\theta[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 1 + 2 - 4sen^^{2}\theta[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 1 + 2(1 - 2sen^^{2}\theta)[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 1 + 2cos(2\theta)[/latex]
Tendo essa relação,iremos fazer a substituição em S
[latex]S = \frac{sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{14} \right )}{sen\left ( \frac{\pi}{7} \right )}[/latex]
[latex]S = \frac{sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{14} \right )}{2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )cos\left ( \frac{\pi}{14} \right )}[/latex]
[latex]S = \frac{sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )cos\left ( \frac{\pi}{14} \right )}{2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )cos\left ( \frac{\pi}{14} \right )}[/latex]
[latex]S = \frac{1}{2}[/latex]
[latex]2012.S = 1006[/latex]
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right ) + 2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )\left [ 3sen\left ( \frac{\pi}{14} \right ) - 4sen^^{3}\left ( \frac{\pi}{14} \right ) \right ][/latex]
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right ) + 2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )sen\left ( \frac{3\pi}{14} \right )[/latex]
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )\left [ 1 + 2sen\left ( \frac{3\pi}{14} \right ) \right ][/latex]
[latex]S = sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )\left [ 1 + 2cos\left ( \frac{4\pi}{14} \right ) \right ][/latex]
Deixando a expressão acima de lado:
[latex]sen(3\theta) = 3sen\theta - 4sen^^{3}\theta[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 3 - 4sen^^{2}\theta[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 1 + 2 - 4sen^^{2}\theta[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 1 + 2(1 - 2sen^^{2}\theta)[/latex]
[latex]\frac{sen(3\theta)}{sen\theta} = 1 + 2cos(2\theta)[/latex]
Tendo essa relação,iremos fazer a substituição em S
[latex]S = \frac{sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{14} \right )}{sen\left ( \frac{\pi}{7} \right )}[/latex]
[latex]S = \frac{sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )sen\left ( \frac{6\pi}{14} \right )}{2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )cos\left ( \frac{\pi}{14} \right )}[/latex]
[latex]S = \frac{sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )cos\left ( \frac{\pi}{14} \right )}{2sen\left ( \frac{\pi}{14} \right )cos\left ( \frac{\pi}{14} \right )}[/latex]
[latex]S = \frac{1}{2}[/latex]
[latex]2012.S = 1006[/latex]
eduardodudu101- Jedi
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