Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Retas perpendiculares no espaço R3

2 participantes

Ir para baixo

Retas perpendiculares no espaço R3 Empty Retas perpendiculares no espaço R3

Mensagem por dutra86 Qua 21 Jul 2021, 17:58

Preciso de uma ajuda nessa questão: 
Calcule a equação paramétrica da reta S que passa por A = (3, 4, −2) e é perpendicular a reta R: (x,y,z)=(1,2,4)+t(1,-1,2)
Depois, calcule o ponto simétrico de A em relação a R

dutra86
iniciante

Mensagens : 5
Data de inscrição : 17/01/2021

Ir para o topo Ir para baixo

Retas perpendiculares no espaço R3 Empty Re: Retas perpendiculares no espaço R3

Mensagem por Skyandee Qui 22 Jul 2021, 16:53

Condições:

1) Produto escalar entre os vetores diretores deve ser 0;
2) vetor diretor de R, vetor diretor de S, vetor (3, 4, -2) - (1, 2, 4) = (2, 2, -6) devem ser linearmente dependentes.

Após isso, basta achar a interseção entre as retas e calcular um vetor diretor de S perpendicular a R.

[latex]\\R:\;\left\{\begin{matrix} \;x = 1+t\\ \;y = 2-t\\ \;\;z = 4+2t \end{matrix}\right. \\\\\\ S:\;\left\{\begin{matrix} x = 3+\lambda a\\ y = 4-\lambda b\\ \;\;z = -2+\lambda c \end{matrix}\right. \\\\\\ \vec{r} = (1, -1, 2)\\ \vec{s} = (a,b,c) \\\\ \vec{r}\cdot\vec{s} = 0 \Rightarrow a-b+2c = 0\mbox{ (I)}
\\\\\vec{q}=(3,4,-2) - (1,2,4) = (2,2,-6)\\\\\\\begin{vmatrix} 1 &-1 &2 \\ a & b &c\\ 2& 2 & 6 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow a+5b+2c = 0\mbox{ (II)}\\\\\\ \mbox{(II) - (I): }6b = 0 \Rightarrow b = 0\\\\\\ \left\{\begin{matrix} 1+t = 3+\lambda a&\\ 2-t = 4&\\ 4+2t = -2+\lambda c& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \lambda a = -4\\ {\color{Red} t = -2}\\ \lambda c = 2\end{matrix}\right.\\\\\\(x,y,z) = (1+(-2), 2-(-2), 4+2(-2)) = (-1,4,0) \in R \cap  S\;  \\\\\\ S = (3, 4,-2) +\lambda (3+1,4-4,-2)\\\\ \therefore \boxed{S = (3, 4, 2)+\lambda (4, 0, -2)}[/latex]


Para calcular o simétrico, basta ver que a interseção é o ponto médio entre A e o ponto procurado:

[latex]\\(-1, 4, 0) = \left(\frac{x+3}{2},\frac{y+4}{2}, \frac{z-2}{2}\right) \\\\\\\left\{\begin{matrix} x+3 = -2\\ y+4 = 8\\ z-2 = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = -5\\ y=4\\ z = 2 \end{matrix}\right. [/latex]


Ou seja, o ponto simétrico é (-5, 4, 2).
Skyandee
Skyandee
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 136
Data de inscrição : 27/11/2017
Idade : 22
Localização : São Paulo - SP

Ir para o topo Ir para baixo

Ir para o topo


 
Permissão neste fórum:
Você não pode responder aos tópicos