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Subespaço

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Mensagem por ElainaHondo Seg 19 Jul 2021, 15:25

Considere [latex]\mathbb{R}^3[/latex] com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Sejam [latex]U = [ ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 )][/latex] e [latex]W=\{ (x + y, y, x) ; x, y \in \mathbb{R} \}[/latex] subespaços de [latex]\mathbb{R}^3[/latex] O subespaço [latex]U \cap W [/latex] é dador por:

a. [(1,1,1),(0,1,1)]
b. [(0,1,1),(1,2,2)]
c. [(1,−1,1)]
d. [(2,1,1)]

ElainaHondo
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Mensagem por SilverBladeII Ter 20 Jul 2021, 18:06

Como (1, 2, 2)=(1, 1, 1)+(0, 1, 1) e B={(1, 1, 1), (0,  1, 1)} é LI, B é base de U

Suponha que v seja vetor da interseção de U e W. Portanto, existem a, b, m e n tais que
v=(a+b, b, a) = m(1, 1, 1)+n(0, 1, 1)=(m, m+n, m+n) vetor de U
Assim
a+b=m
b=m+n
a=m+n

-> a=b
-> m=2a
-> n=-a,
então v=(2a, a, a)=a(2, 1, 1)

Assim, a interseção é [(2, 1, 1)]
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Mensagem por Carolzita Lisboa Ter 20 Jul 2021, 19:29

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