CIRCUNFERÊNCIA, RETA E PONTO

por Jvictors021 Sáb 17 Jul 2021, 02:37

Obter a equação da circunferência que passa pela origem, tem centro na reta y=2 e tangencia a reta x+y-8=0

R = (x-2)^2 + (y-2)^2 = 8 ou (x+14)^2 + (y-2)^2 = 100

Desde já agradeço, estou com dificuldades em problemas que envolvem a determinação de circunferencia... Um Abraço a todos!!

por ruanramos Sáb 17 Jul 2021, 12:49

Uma boa questão, vamos lá...

Essas são as possibilidades de circunferências.

Sabe-se que a distância entre o ponto O (origem) e o ponto C (centro) tem que ser igual a distância do ponto C ao ponto P (ponto pertencente a reta tangente).

Agora basta escrever isso algebricamente.

Distancia entre OC:

[latex]D=\sqrt{(x-x_{_{0}})^2+ (y-y_{0})^2} = \sqrt{x^{2} + 4}[/latex]

Distancia entre PC (reta e ponto):

[latex]D= \frac{\left | ax+by+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = \frac{\left | x - 6 \right |}{\sqrt{2}}[/latex]

Agora iguala as distâncias:

[latex]\sqrt{x^2+4} = \frac{\left | x - 6 \right |}{\sqrt{2}} [/latex]

[latex]\sqrt{2x^{2}+8} =\left | x - 6 \right | [/latex]

[latex]2x^{2}+8 = x^2 -12x +36\rightarrow 0= x^2+12x-28 [/latex]

[latex]x_{1} = 2 [/latex] ou [latex]x_{2}= -14 [/latex]

Por fim temos:

[latex] (x-2)^{2}+ (y-2)^2 = 8 [/latex]

[latex] (x+14)^{2}+ (y-2)^2 = 200 [/latex]

por **Elcioschin** Sáb 17 Jul 2021, 13:02

A 1ª solução é bem simples

Desenhe um sistema xOy , a reta y = 2 e a reta x + y - 8 = 0 que passa por A(0, 8 ) e B(8, 0)

x + y - 8 = 0 ---> y = - x + 8 ---> m = -1

Por O, trace uma perpendicular à reta x + y - 8 = 0, no ponto P

P será um dos pontos de tangência da circunferência. A reta OP tem equação y = x

Coordenadas do ponto P --->

x + y - 8 = 0 ---> 2.x = 8 ---> x = 4 ---> y = 4 ---> P(4, 4)

OP é o diâmetro d da circunferência: d² = 4² + 4² ---> d² = 32 -->

(2.r)² = 32 ---> r² = 8

Centro C ---> y = 2 ---> x = y ---> x = 2 ---> C(2, 2)

Equação ---> (x - 2)² + (y- 2)² = 8