(Unicamp) Função Trigonométrica

por Bruno Sex 18 Set 2009, 17:11

(Unicamp) Dado o sistema linear homogêneo:
(Unicamp) Função Trigonométrica 73680837

a) Encontre os valores de a para os quais esse sistema admite solução não trivial.
b) Para o valor de a encontrado no item a que está no intervalo [0;pi/2], encontre uma solução não trivial do sistema.

por Jeffson Souza Sex 18 Set 2009, 19:56

Olá Bruno..
Seja bem-vindo!!!

Não estou conseguindo visualisar a imagem. :roll:

por Bruno Seg 21 Set 2009, 12:57

Jeffson Souza escreveu:Olá Bruno..
Seja bem-vindo!!!

Não estou conseguindo visualisar a imagem.

eu coloquei no IMageshak

https://2img.net/r/ihimizer/img441/9257/73680837.jpg ...

Vê se consegue...

por Jeffson Souza Ter 22 Set 2009, 13:55

Olá Bruno ,eu acho que tem um erro em sua matriz verifique ela pois olhe ;

Para que o sistema tenha solução não-trivial, os coeficientes do determinantes devem ser nulos.

(cos a + sin a)*(cos a - sin a)-2*cos a*cos a=0

lembrando que (a+b)*(a-b)=a²-b² diferença de quadrados

cos² a - sin² a-2*cos² a=0

sin² a+ cos² a=0 ----->pela regra trigonométrica isso é impossível....

Verifique o erro!!!

Obs: Se você tiver o gabarito ,coloque-o.

por Bruno Qua 23 Set 2009, 14:11

Jeffson Souza escreveu:Olá Bruno ,eu acho que tem um erro em sua matriz verifique ela pois olhe ;

Para que o sistema tenha solução não-trivial, os coeficientes do determinantes devem ser nulos.

(cos a + sin a)*(cos a - sin a)-2*cos a*cos a=0

lembrando que (a+b)*(a-b)=a²-b² diferença de quadrados

cos² a - sin² a-2*cos² a=0

sin² a+ cos² a=0 ----->pela regra trigonométrica isso é impossível....

Verifique o erro!!!

Obs: Se você tiver o gabarito ,coloque-o.

Jeffson Souza

Você tem toda razão, me desculpa, na correria aqui no serviço acabei copiando errado.
Se você não se importar de perder mais um tempinho, dá uma olhada novamente, agora olhei e revisei e é isso mesmo que está no exercicio.

https://2img.net/r/ihimizer/img121/2519/88728327.jpg

Resultados:
a) a = pi/8 + K*pi/2
b) (1; - sqrt (2 ) / 2 * cotg( pi / 8 ) )

A letra "a" eu consegui resolver, mas a b, não rolou, cheguei até um negócio muito louco e travei.

por Jeffson Souza Qui 24 Set 2009, 00:14

por **Medeiros** Qui 24 Set 2009, 03:38

Colegas, tenho acompanhado sua peleja e vocês me encheram de dúvidas.

1) Por que fazer y=1? Pelo que vi, poder-se-ia, também, supor x=1. Mas, mais importante, qual critério justifica este procedimento? A meu ver, nenhum. Por que não, igual a 2?

2) As incógnitas do sistema são x e y, certo? O sistema é composto de duas equações e procura-se a sua solução; com isto quer-se dizer que se procura encontrar os valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações? Se for isto, a resposta deve ser x=y=0, tão somente, não há outra. Vejamos.
A=alfa
Podemos escrever as eqs. do sistema como y=f(x):
(cosA+senA)x + 2senA·y = 0 -----> y = [(senA-cosA)/2senA]x ......(1)
cosA·x + (cosA-senA)y = 0 ------> y = [cosA/(senA-cosA)]x ........(2)

As eqs. (1) e (2) são equações de retas que passam pela origem e onde o coeficiente (parte em preto) é a declividade. O único valor que satisfaz a essas duas equações é x=y=0. Elas não se encontram em nenhum outro lugar do plano.

Pelo que entendo, esse valor A=(Pi/8+kPi/2) é o valor que torna o sistema indeterminado. Então, como se consegue achar um x ou um y para ele?

em (1) ----> y = -(V2/2)x
em (2) ----> y = -[(2+V2)/2]x

Um abraço.

por Jeffson Souza Sáb 26 Set 2009, 01:05

Olá amigo Medeiros,

Desculpe a demora pois foi agora que eu presenciei sua dúvida.

a)
Esse sistema admite a resposta "óbvia" x=0 e y=0

para admitir mais de uma solução, precisa admitir infinitas e isso só vai ocorrer se a matriz dos coeficientes não for inversível (se for inversível dá para achar a resposta única x=y=0)

Para não ser inversível, o determinante PRECISA ser zero.

Para o valor de a encontrado no item a que está no intervalo [0;pi/2], encontre uma solução não trivial do sistema.

No sistema homogêneo temos.

Sistema possível determinado>Só possui a solução nula,trivial ou imprópria.

Sistema possível indeterminado >Além da solução nula,há outras soluções chamadas própria ou não triviais.

o valor de alpha deve ser pi/8

a solução trivial ocorre de darmos valores para x (ou y) e acharmos o y (ou o x). O triste é que não pode ser zero, senão caímos na solução trivial.

Então o que foi observado por você cairá em uma indeterminação na letra b) pois o que não pode é a trivial.

Séria isso sua dúvida?

Um abraço

por **Medeiros** Ter 29 Set 2009, 00:22

Obrigado pelo retorno, amigo Jeffson, e desculpe minha demora (foi um longo fim-de-semana).

Eu realmente estava boiando. Sempre tive dificuldades com a teoria (que, de fato, não sei) e respectivos termos; por isso procuro dar um significado ao que estou fazendo, seja pela palavra (para mim, trivial = simples, comum, óbvio) seja, por uma interpretação geométrica, quando consigo.

Entendi o que você disse com relação a sistema trivial – era mesmo minha dúvida e muito obrigado pela aula.

(A)

A origem de toda a minha contestação foi o erro que fiz, no post anterior: ao trocar o sinal de um termo da primeira equação, achei duas retas diferentes quando A=pi/8. Na verdade, esse valor de alfa faz com que as declividades sejam iguais, ou seja, as duas retas são coincidentes.
y = -[(2+√2)/2]*x = -(1+√2/2)x.

(B)

Embora o resultado esteja correto, não consegui repetir a manipulação que você fez ao passar de x = -[2senA/(cosA-senA)]*y (acho que o sinal está trocado no denominador)
para x = -√2*tg(pi/8)*y, quando A=pi/8. Pode mostrar para mim?

Tentando chegar no gabarito a partir da primeira equação, obtive:
y = -[(cosA+senA)/2senA]*x = [-cosA/2senA – senA/2senA]*x
para A=pi/8,
y = (-cotgA/2 – 1/2)*x = -[(cotgA + 1)/2]*x
para x=1,
y = -[cotg(pi/8) + 1]/2 = -(1+√2/2)

De qualquer forma, esses dois resultados são diferentes do gabarito do Bruno.

Abração.

por Jeffson Souza Sáb 03 Out 2009, 01:37

Olá amigo ,agora sou eu que peço desculpas pela demora.

Realmente errei o sinal do denominador.Peço desculpas!

[cos(a)+sen(a)]x + 2sen(a)*y = 0

[cos(a)+sen(a)]x=-2 sen(a)*y

x=-2 sen(a)y/[cos(a)+sen(a)]

x=-[( sen(a)/sen(a))+(sen(a)/cos(a))]
x=-[1+tg(a)]

Olhe só essa: