Equação da Reta

Dados A = (1, 3), B = (5, 7), seja X o ponto no segmento AB tal que |BX| = 2|AX|. A equação da reta que passa por X é perpendicular à reta ex + fy = 7 é:

a) f(3x − 7) = e(3y − 13)
b) f(3x + 11) = e(17 + 3y) 
c) f(3x − 11) = e(17 − 3y)
d) f(3x − 11) = e(3y − 17)
e) f(3x − 7) = e(13 − 3y)
f)  f(3x + 7) = e(3y + 13)

Medeiros escreveu:

Amigo, você poderia me explicar essas partes abaixo que eu assinale, sou novo em geometria analítica e não entendi muito bem.  

Beatz

essa parte que vc não entendeu é a obtenção das coordenadas do ponto X. Precisamos conhecer estas coordenadas porque a questão pede a reta que passa por este ponto.

Do enunciado temos que BX = 2.AX, ou seja, BX/AX = 2/1. Mediante manipulação usando propriedades das proporções obtemos
AX/BX = 1/2 -----> AX/(AX + BX) = 1/(2 + 1) -----> AX/AB = 1/3 -----> AX = (1/3).AB .............. (1)

agora lembrando que AX = X - A e que AB = B - A, podemos reescrever a (1) como ---> X - A = (1/3|)(B - A) ............. (2)

Olhe o desenho do triângulo que fiz à esquerda e note os triângulos semelhantes. As coordenadas do ponto X são x_X e y_X. Então para achar essas coordenadas aplicamos a (2) aos dois eixos x e y.
x_X - x_A = (1/3).(x_B - x_A)
e
y_X - y_A = (1/3).(y_B - y_A)

como (x_B - x_A) = (y_B - y_A) = 4, reescrevemos essas coordenadas como
x_X - x_A = (1/3).4 -----> x_X = x_A + 4/3
y_X - y_A = (1/3).4 -----> y_X = y_A + 4/3

e finalmente substituindo as coordenadas do A(1, 3) ficamos com
x_X = 1 + 4/3 -----> x_X = 7/3
y_X = 3 + 4/3 -----> Y_X = 13/3
.:. x = (7/3 , 13/3)