Circunferência tangente

por Bruno1681 Ter 01 Jun 2021, 03:08

Estou em dúvida no seguinte exercício no qual cheguei no resultado, porém eu parti de um pressuposto que o centro da circunferência menor é exatamente 2/3h (altura) do triângulo ABC. Será que tem como provar que a circunferência menor está realmente a 2/3h?

Enunciado da questão:

Na figura a seguir o triângulo ABC é equilátero com lados de comprimentos 2 cm. Os três círculos C1, C2, C3 têm raios de mesmo comprimento igual a 1 cm e seus centros são vértices do triângulo ABC. Seja r>0 o raio do círculo C4 interior ao triângulo ABC e simultaneamente tangente aos círculos C1, C2, C3. Calcule 9(1+r)².

Anexei também a minha resolução.

por **Medeiros** Ter 01 Jun 2021, 08:34

seu raciocínio está correto. O centro da circunf. menor fica no baricentro do triângulo.

Um outro modo de comprovar seria aplicando a lei dos cossenos no triângulo BCC₄.
C₄ˆBC = C₄ĈB = 30º -----> BĈ₄C = 120º

2² = 2.(r + 1)².(1 - cos120º)
4 = 2.(r + 1)².3/2
3.(r + 1)² = 4 ........ (*3)
9.(r + 1)² = 12

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