Progressão aritmética

(PAS 1 2008-2010) 
 
Um camponês pediu ao ilustre matemático ajuda para determinar o número de árvores que deveriam ser plantadas em n dias para ocupar um terreno de maneira a obter configurações geométricas em forma de triângulos ou quadrados, em cada dia n > 2. Para auxiliar o agricultor, Beremiz considerou as sequências (1,3,6,10...,t_n,...) e (1,4,9,16...,q_n,...) em que t_n e q_n representavam os números de árvores que deveriam ser plantadas do primeiro ao n-ésimo dia para se obterem arranjos triangulares e quadrados.

A partir das informações, julgue os itens a seguir. 

3. O número de árvores plantadas do primeiro dia ao dia 2n+1 para que fossem obtidos arranjos quadrados é dado por 8t_n + 1. 

Gabarito: C

Não sei como chegar nesse resultado. Alguém pode me ajudar? Agradeço desde já.

Na sequencia (1, 3, 6, 10, ..., t_n,...) perceba que, a partir do segundo, todo número é formado pela soma do anterior mais o valor da sua posição, assim, temos:

t₁ = 1
t₂ = t1 + 2
t₃ = t₂ + 3
   .
   .
   .
t_{(n - 1)} = t_{(n - 2)} + (n - 1)
t_n = t _{(n - 1)} + n

Fazendo a soma membro a membro, vem:

t₁ + t_{2 +} t_{3 + ... +} t_{(n - 1) +} t_n  =  t₁ + t_{2 +} t_{3 + ... +} t(n - 1) + 1 + 2 + ... + n

O que resulta em t_n  =   1 + 2 + ... + n.

Agora, 1 + 2 + ... + n é uma PA de razão 1, logo:

t_n  =   n.(n + 1)/2

t_n  =   (n² + n)/2


Para a sequencia (1, 4, 9, 16, ..., q_n,...) é facil perceber que a lei de formação dos elementos é q_n = n².


Ele pede o número de árvores plantadas no formato de quadrados no dia 2n +1, logo:

q_{(2n + 1)} = (2n + 1)²

q_{(2n + 1)} = 4n² + 4n + 1

q_{(2n + 1)} = 4(n² + n) + 1

Temos que,   t_n  =   (n² + n)/2  ----->   2.t_n  =   (n² + n)

Fazendo a substituição, vem:

q_{(2n + 1)} = 4(n² + n) + 1

q_{(2n + 1)} = 4(2.t_n) + 1

q_{(2n + 1)} = 8t_n + 1