ITA - Trigonometria

As duas últimas alternativas, D e E, estão escritas erradas. O correto é:

D) Se [latex]g(T) = \pi . a[/latex], então [latex]T[/latex] é o período de [latex]f[/latex].
E) Se [latex]g(T) = 2. \pi[/latex], então [latex]T[/latex] é o período de [latex]f[/latex].


a) Uma função [latex]f[/latex] é periódica se existir um número [latex]p > 0[latex] satisfazendo a condição [latex]f(x + p)=  f(x)[/latex]. O menor valor de [latex]p[/latex] que satisfaz a condição acima é chamado período de [latex]f[/latex].

Usando [latex]g(x+y)=g(x)+g(y)[/latex], temos,

[latex]f(x+p)= sen \left [ \frac{2g(x+p)}{a} \right ] = sen \left [ \frac{2}{a} (g(x)+g(p)) \right ] = sen \left [ \frac{2}{a} g(x)+\frac{2}{a}  g(p) \right ][/latex]

A função Seno possui período de [latex]2 \pi[/latex], ou seja, [latex]sen(x) = sen(x + 2\pi)[/latex] para todo [latex]x[/latex] real, assim

[latex]sen \left [ \frac{2}{a} g(x)+\frac{2}{a}  g(p) \right ] = sen \left [ \frac{2}{a} g(x) \right ]= sen \left [ \frac{2}{a} g(x)+ 2 \pi \right ][/latex]

O que implica

[latex]\frac{2}{a}  g(p) = 2 \pi [/latex]

[latex]g(p) = a \pi [/latex]

Portanto, [latex]p[/latex] será o período de [latex]f[/latex], se [latex]g(p) = a \pi [/latex].  Item Errado.



b) Se [latex]a=n[/latex], com [latex]n[/latex] natural, podemos reescrever [latex]n[/latex] da seguinte forma,

[latex]n= \overset{n}{\overbrace{1+1+ \dots +1}}[/latex]

Usando a função [latex]g[/latex], temos,

[latex]g(n)= g( \overset{n}{\overbrace{1+1+ \dots +1}} ) = \overset{n}{\overbrace{g(1)+g(1)+ \dots + g(1)}}[/latex]

[latex]g(n)=n.g(1)[/latex]

Portanto,

[latex]f(n) = sen \left [ \frac{2}{a}. g(n) \right ] =  sen \left [ \frac{2}{n}. n.g(1) \right ] [/latex]

[latex]f(n) =   sen \left [ 2.g(1) \right ] [/latex]  Item Errado.



c) Temos:

[latex]g(0)=g(0+0)=g(0)+g(0) \ \ \ \  \Rightarrow \ \ \ \ g(0) = 0[/latex]

Assim,

[latex]f(0)= sen \left [ \frac{2}{a}. g(0) \right ] = sen \left [ \frac{2}{a}. 0  \right ] = 0 [/latex]

Como [latex]g(1) \neq 0[/latex], logo [latex]g(1) \neq f(0) [/latex]  Item Errado.





d) Usando o mesmo raciocínio do item a) e fazendo [latex]p = T [/latex], temos que se [latex]g(T)= a \pi [/latex], então [latex]T[/latex] é o período de [latex]f[/latex].  Item Correto.



e) Devido aos itens a) e d), Item Errado.