Resistência de um cubo

Encontre a resistência de um cubo em que cada aresta tem resistência R, entre os pontos A e E:

Gabarito:

Observe o eixo de simetria.



Todos os pontos pertencentes a esse esse eixo possuem mesmo potencial. Portanto, para achar a Req é presciso calcular apenas a resistência de um dos lados do plano e multiplicar por 2, visto que estão em série.

Para calcular a Req de um lado, veja que se forma um circuito do tipo:



Ao calcular a Req, obtêm-se 3R/8. Multiplicando por dois o resultado chega-se ao gabarito.

*Por eixo, leia-se plano.

Um típico problema em que se deve usar simetria:

Por que os cursos "FB"  e "GC" são excluídos?

Há duas formas de pensar.

I) Como pertencem ao plano de simetria não passa corrente por eles (Veja imagem do plano).

II) Pode se pensar numa ponte de Wheatstone. Como todos resistores são R, veja que AC.GH = CE.DG e AB.FH = BE.DF.

Também poderia usar Delta-Estrela e acho que nem daria tanta conta.

Ceruko

Note que eu imaginei Ua > Ub > Ue (mas poderia ser o oposto)
Com isto a corrente I entrou pelo nó A e se dividiu pelos ramos AB, AC e AD
Devido à simetria podemos garantir que as correntes i(ABE) e i(ACE) tem o mesmo valor i. E temos iADHE = i'

Isto significa que as correntes nos ramos BE, CE também valem i e vão se juntar no nó E, com i(ADHE) resultando na corrente I saindo de E

Depois eu provei, usando  Lei dos Nós, que as correntes nos ramos BF e CG são nulas. Ora se não passa corrente neste ramos, eles não servem para nada e podem ser retirados do circuito.

Outro modo de enxergar: se não passa corrente entre B e F, significa que não existe ddp entre eles: Ub = Uf
O mesmo ocorre no ramo CG ---> Uc = Ug
Poderíamos, portanto juntar  e os pontos B e F num único ponto e os pontos C e G num outro único ponto.
Mas não foi isto que eu fiz:

Depois de retirar os resistores dos ramos BF e CG podemos redesenhar o circuito, no plano, ao invés do espaço 3D:

Elcio, baseado no seu desenho, como a corrente seria a mesma para esses 3 ramos? 


O ramo de cima, por ser 3 R, não deveria ser uma corrente menor?

Ceruko

Você está coberto de razão.
Esta simetria total, com as três correntes iguais vale somente se os vértices do cubo forem opostos (por exemplo A e H)

No caso de vértices opostos de uma das faces (AE, por exemplo) a simetria é parcial.

Refiz minha imagem original considerando que i(AB) = i(AC) = i e i(AD) = i'

O resto ficou igual, com i' se dividindo em duas i'/2 e i'/2

Espero que todos que participaram da questão deem uma nova lida na correção da minha solução.

Ahh, sim. Tudo nos conformes agora.

Obrigado, Elcio e Edu, pela paciência de me elucidarem essa questão.

Uma informação adicional, embora não exigida no enunciado:

Notem que, na figura planificada:

1) Em cada um dos dois ramos da parte inferior (ABE e ACE), circula um corrente i, e existe uma resistência equivalente 2.R

Neste caso, a ddp em cada ramo, é a própria ddp entre A e E ---> Uae = 2.R.i ---> I

2) No ramo superior, onde circula corrente i', existe uma resistência equivalente 3.R

Neste caso, a ddp neste ramo, é a própria ddp entre A e E ---> Uae = 3.R.i' ---> II

II = I ---> 3.R.i' = 2.R.i ---> i' = 2.i/3

Isto implica que a corrente nos ramos DFH e DGH valerá: i(DFH) = iDGH) = i/3

Vou editar a figura planificada, incluindo as correntes.