(UFC - 89) - Potenciação de Número Complexo

por BatataLaranja345 Seg 10 maio 2021, 19:54

Boa noite amigos e amigas do fórum! Gostaria de uma ajuda nessa questão! Segue:

(UFC - 89) Considere o número complexo z = (1 + i).(√3 - i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que zⁿ seja um número real positivo.
a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 30

Então gente, não sei por onde iniciar...
Tentei resolver o número complexo, multiplicando os parênteses, porém, sem sucesso...
Quem puder me ajudar, agradeço desde já!! cheers

Obs.: O gabarito está marcado de vermelho!

por **Elcioschin** Seg 10 maio 2021, 20:12

z = (1 + i) .(√3 - i) --> z = (√3 + 1) + i.(√3 - 1)

........ (√3 - 1) ... (√3 - 1) ... 4 - 2.√3
tgθ = ---------- * ---------- = ---------- = 2 - √3 ---> θ = 15º
........ (√3 + 1) ...(√3 - 1) ........ 2

z = |z|.(cos15º + i.sen15º) ---> zⁿ = |z|ⁿ.[cos(n.15º) + i.sen(n.15º)]

Para ser real positivo ---> n.15º = 360º ---> n = 24

por BatataLaranja345 Seg 10 maio 2021, 20:38

Brigadão, Elcio!
Mas, estou com uma dúvida: pq o senhor usou tgθ?
Com relação as outras contas, entendi perfeitamente!
Obrigado, mais uma vez, e grande abraço para o senhor! cheers

por **Elcioschin** Seg 10 maio 2021, 22:08

Porque z = |z|.(cosθ + i.senθ) onde θ é o argumento.

Para elevar z a um expoente qualquer é necessário escrever z na forma trigonométrica e depois elevar ao expoente, como eu fiz.

Para entender por que θ = 15º, calcule sen15º, cos15º e tg15º

por BatataLaranja345 Seg 10 maio 2021, 22:38

Ah sim!
Entendi, obrigado pela ajuda, como sempre, Elcio!
Grande abraço e boa noite para o senhor!
cheers

por **Elcioschin** Ter 11 maio 2021, 11:23

Minha solução foi bem simplificada e pode gerar dúvidas: por exemplo, poderiam perguntar como √3 + 1 pode ser o cosseno de um ângulo se √3 + 1 > 1

Vou detalhar o caminho completo:

z = (√3 + 1) + i.(√3 - 1) ---> |z|² = (√3 + 1)² + (√3 - 1)² ---> |z| = 2.√2

z = 2.√2.[(√3 + 1)/2.√2 + i.(√3 - 1)/2.√2]

Agora sim ---> cosθ = (√3 + 1)/2.√2 ---> senθ = (√3 - 1)/2.√2

tgθ = senθ/cosθ --> tgθ = {(√3 - 1)/2.√2}/{(√3 + 1)/2.√2} --->

tgθ = (√3 - 1)/(√3 + 1)

O resto é igual.

por BatataLaranja345 Ter 11 maio 2021, 11:25

Ahh sim. Obrigado de novo Elcio kkkkk
Para ser sincero, eu n tinha entendido mt bem oq o senhor disse ontem... mas fiquei com vergonha de perguntar novamente do pq. Razz