Equações Trigonométricas

por Raaby Cássia Qua 05 maio 2021, 13:39

A área do polígono, cujos vértices são a representação no ciclo trigonométrico das soluções da equação [latex](senx+sen2x+sen3x)^{2} + (cos x+cos2x+cos3x)^{2}=1[/latex], é:

[latex]a) \frac{1}{2}[/latex]

[latex] b) 1 [/latex]

[latex]c) 2[/latex]

[latex]d) \frac{\sqrt{3}}{2} [/latex]

[latex]e) \frac{3\sqrt{3}}{4}[/latex]

B:

por **Vitor Ahcor** Qua 05 maio 2021, 14:08

Olá, desenvolvendo:

(senx+sen2x+sen3x)² + (cosx+cos2x+cos3x)² = 1

⇒sen²x + sen²2x+sen²3x+2*(senxsen2x+senxsen3x+sen2xsen3x)+cos²x+cos²2x+cos²3x+2*(cosxcos2x+cosxcos3x+cos2xcos3x) = 1

⇒1+1+1+2*(cosxcos2x+senxsen2x)+2*(cosxcos3x+senxsen3x)+2*(cos2xcos3x+sen2xsen3x) = 1

⇒3+2*cos(2x-x)+2*cos(3x-x)+2*cos(3x-2x) = 1

⇒2cosx+cos2x = -1

⇒2cosx + 2cos²x - 1 = -1

⇒cosx*(1+cosx) = 0

No intervalo [0,2pi):

(i) cosx = 0 .: x = pi/2 ou 3pi/2

(ii) 1+cosx = 0 ⇒ cosx = -1 .: x = pi

As soluções formam no ciclo trigonométrico um triângulo retângulo isósceles de catetos √2. Logo, a área do polígono é √2*√2/2 = 1.