proposições

Sejam as proposições:

I. raiz(81) = 9
II. raiz((-3)(-27)) = raiz(81)
III. (raiz(-3).raiz(-27)) = raiz((-3).(-27))

I e II são verdadeiras

por que III é falsa?

Colega, está errada pela própria definição de raiz
[latex]\sqrt{-x}\;\;\;nao\;existe[/latex]

E tomando a questão como tendo estabelecido dominio nos Complexos,
√-3 = √3.i   e √-27 = √27.i    
A multiplicação ficaria √81.i²
9.(-1) = -9 

Que é diferente de √(-3. -27) = √81 = 9

Mas Decoco, eu não posso pensar na relação (a)^x (b)^x = (ab)^x para quaisquer valores de a e b, mesmo sendo negativos, e o x sendo um número racional, como 1/2? Nesse caso, item III me parece válido.

Pode, mas sempre respeitando às regras da Raiz. Por definição não há raiz de número negativo quando o índice for ímpar, essas propriedades não podem ser usadas em alguns casos,

Exemplo do número √(-2)^2 = -2 eu posso cortar o índice com o expoente ?
Não, essa propriedade desrespeita à raiz, √(2)^2 mas aqui eu posso. É por esse motivo que uma raiz enésima é bem definida, se não fosse, viraria bagunça.

A questão deve dar o domínio também, Reais ou Complexos.
Resolvendo por complexos pela relação que você deu :
i.(3^1/2) X i.(27^1/2) = 81^1/2 . i^2. = 9. -1 = -9

Quando a raiz tiver índice par e radicando negativo tome cuidado com essas propriedades, nem todas valerão. abraços do colega Margheriti