ITA - PG

Considere uma progressão geométrica, que o primeiro termo é “a”, a > 1, a razão é q, q > 1, e o produto dos seus termos é c. Se [latex]log_{a}b=4, log_{q}b=2 e log_{c}b=0,01,[/latex]Quantos termos tem essa progressão geométrica?

Gabarito:

n=20:

Pelos dados do problema:

b = a^4 --> Eq 1
b = q^2 --> Eq 2
b^100 = c --> Eq 3 --> Substituindo Eq 1:

a^400 = c --> Eq 4

Eq1 = Eq2 --> a^2 = q

A PG de n elementos pode ser escrita na seguinte forma:

PG(a, a*q, a*q^2, ..., a*q^(n-1)) --> como q = a^2, teremos:

PG(a, a³, a^5,..., a^(2n-1)) --> Note que os expoentes de "a" representam os números ímpares de 1 até 2n - 1

Portanto, multiplicando todos os elementos, teremos a base "a" e o expoente como a soma dos ímpares de 1 até 2n -1, que é uma PA.

S = (1 + (2n -1))*n/2 = n²

Portanto:

a^(n²) = c --> Substituindo Eq 4:

a^(n²) = a^400

n² = 400

n = 20

Abraços, e até a próxima!