Análise Combinatória.

por Potter. Sáb 27 Mar 2021, 18:18

Uma comissão de oito pessoas será escolhida dentre 7 alunos do curso de Matemática, 4 de Física, 6 de Química e 3 de Estatística. Quantas são as opções que se tem de formar a comissão, de modo que nenhum dos cursos tenha exatamente dois representantes?

Spoiler:

por Lucasarcosseno Dom 28 Mar 2021, 11:25

É o tipo de questão que dá para fazer pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, fazendo S0 - S1 + S2 - S3 +S4, onde S0 é a combinação de 20 elementos tomados 8 a 8 (são as comissões possíveis com os 20 alunos), S1 a soma dos conjuntos em que um curso tem 2 representantes na comissão , S2 a soma dos conjuntos em que dois cursos tem dois representantes na comissão, S3 ...... e S4 o conjunto em que todos os cursos tem exatamente 2 representantes na comissão.
No entanto, minha resposta ficou muito diferente do gabarito, provavelmente está errada. Eu encontrei os seguintes valores:
S0 = 125 970
S1 = 166 257
S2 = 74 511
S3 = 31 111
S4 = 5 670

Fazendo S0 - S1 + S2 - S3 + S4, encontrei 8709.
Queria saber também se há algo errado no meu raciocínio ou se o erro foi apenas de cálculo.

por Potter. Dom 28 Mar 2021, 13:16

Lucasarcosseno escreveu:É o tipo de questão que dá para fazer pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, fazendo S0 - S1 + S2 - S3 +S4, onde S0 é a combinação de 20 elementos tomados 8 a 8 (são as comissões possíveis com os 20 alunos), S1 a soma dos conjuntos em que um curso tem 2 representantes na comissão , S2 a soma dos conjuntos em que dois cursos tem dois representantes na comissão, S3 ...... e S4 o conjunto em que todos os cursos tem exatamente 2 representantes na comissão.
No entanto, minha resposta ficou muito diferente do gabarito, provavelmente está errada. Eu encontrei os seguintes valores:
S0 = 125 970
S1 = 166 257
S2 = 74 511
S3 = 31 111
S4 = 5 670

Fazendo S0 - S1 + S2 - S3 + S4, encontrei 8709.
Queria saber também se há algo errado no meu raciocínio ou se o erro foi apenas de cálculo.

Lucas, o meu raciocínio foi parecido com o seu.
Porém os meus valores para as somas foram diferentes e cheguei em um impasse ao calcular a S3
S0 = 125.970 (C20, Cool

S1 = 166.257 [(C7,2 . C13,6) + (C6,2 . C14,6) + (C4,2 . C16,6) + (C3,2 . C17,6)]

S2 = 77.661 [(C7,2 . C4,2 . C9,4) + (C7,2 . C6,2 . C7,4) + (C7,2 . C3,2 . C10,4) + (C4,2 . C6,2 . C10,4) + (C4,2 . C3,2 . C13,4) + (C6,2 . C3,2 . C11,4)]

S3 = 5670 (C7,2 . C4,2 . C6, 2 . C3,2) Deveria resultar em 4 subconjuntos, porém os outros subconjuntos não gerariam um novo agrupamento (C7,2 . C4,2 . C3,2 . C6,2), (C7,2 . C6,2 . C3,2 . C4,2), (C4,2 . C6,2 . C3,2 . C7,2)

Devo ter comido mosca em alguma parte

por Lucasarcosseno Dom 28 Mar 2021, 15:27

Opa! Percebi que em minha resposta há dois erros de cálculo:
1°)

S2 = [(C7,2 . C4,2 . C9,4) + (C7,2 . C6,2 . C7,4) + (C7,2 . C3,2 . C10,4) + (C4,2 . C6,2 . C10,4) + (C4,2 . C3,2 . C13,4) + (C6,2 . C3,2 . C11,4)]

C7,2 = 21
C4,2 = 6
C6,2 = 15
C3,2 = 3

S2 = (21x6x126) + (21x15x35) + (21x3x210) + (6x15x210) + (6x3x715) + (15x3x330)
S2 = 86.751

(Nós dois erramos aqui)

2º) S3 = 5670 x 4 = 22.680

Agora, sim, aplicando à fórmula [S0 - S1 + S2 - S3 + S4], o resultado bate com o gabarito.

(125970) - (166257) + (86751) - (4x5670) + (5670) = 29.454

Em relação ao seu impasse sobre S3, lembre-se que o agrupamento Y (C7,2 . C4,2 . C6, 2 . C3,2 = 5670) foi subtraído 4 vezes de S0 ao operarmos S1, depois somado 6 vezes em S2. ---> -4 + 6 = +2. Somamos, portanto, o agrupamento Y 2 vezes a S0. No entanto, nosso objetivo é subtraí-lo apenas uma vez. Assim, quando subtraímos S3 na fórmula, significa que estamos tirando esse agrupamento 4 vezes (S3 = 5670 x 4), ficando com 2-4 = -2. Até aqui subtraímos Y duas vezes. Então aí que entra S4, o qual também é igual ao agrupamento Y (C7,2 . C4,2 . C6, 2 . C3,2 = 5670). Ao somarmos S4 na fórmula, ficamos com -2+1 =-1. Portanto, no final das contas, o agrupamento só será subtraído uma única vez.
Ficou confuso?

por Lucasarcosseno Dom 28 Mar 2021, 15:44

S3 corresponde à soma dos subconjuntos formados pela interseção entre três dos 4 conjuntos. Teremos o mesmo agrupamento nas 4 interseções possíveis, portanto devemos contá-lo quatro vezes no cálculo. S4 é a interseção dos 4 conjuntos, que corresponde ao mesmo agrupamento que contamos em S3.

por Potter. Dom 28 Mar 2021, 21:50

Lucasarcosseno escreveu:Opa! Percebi que em minha resposta há dois erros de cálculo:
1°)

S2 = [(C7,2 . C4,2 . C9,4) + (C7,2 . C6,2 . C7,4) + (C7,2 . C3,2 . C10,4) + (C4,2 . C6,2 . C10,4) + (C4,2 . C3,2 . C13,4) + (C6,2 . C3,2 . C11,4)]

C7,2 = 21
C4,2 = 6
C6,2 = 15
C3,2 = 3

S2 = (21x6x126) + (21x15x35) + (21x3x210) + (6x15x210) + (6x3x715) + (15x3x330)
S2 = 86.751

(Nós dois erramos aqui)

2º) S3 = 5670 x 4 = 22.680

Agora, sim, aplicando à fórmula [S0 - S1 + S2 - S3 + S4], o resultado bate com o gabarito.

(125970) - (166257) + (86751) - (4x5670) + (5670) = 29.454

Em relação ao seu impasse sobre S3, lembre-se que o agrupamento Y (C7,2 . C4,2 . C6, 2 . C3,2 = 5670) foi subtraído 4 vezes de S0 ao operarmos S1, depois somado 6 vezes em S2. ---> -4 + 6 = +2. Somamos, portanto, o agrupamento Y 2 vezes a S0. No entanto, nosso objetivo é subtraí-lo apenas uma vez. Assim, quando subtraímos S3 na fórmula, significa que estamos tirando esse agrupamento 4 vezes (S3 = 5670 x 4), ficando com 2-4 = -2. Até aqui subtraímos Y duas vezes. Então aí que entra S4, o qual também é igual ao agrupamento Y (C7,2 . C4,2 . C6, 2 . C3,2 = 5670). Ao somarmos S4 na fórmula, ficamos com -2+1 =-1. Portanto, no final das contas, o agrupamento só será subtraído uma única vez.
Ficou confuso?

Tem razão, apenas agora consegui compreender. Muito organizada sua explicação