Função.

por **Eduardo Rabelo** Seg 22 Mar 2021, 07:38

Seja f: ℕ→ℕ, onde ℕ é o cojunto dos números naturais uma função satisfazendo:

I)f(2)=2;

II)f(m.n)=f(m).f(n), para todo m,n ∈ ℕ;

III)f(m)>f(n) sempre que m>n.

Mostre que:

a)f(2^k)=2^k para todo k ∈ ℕ.

b) f(n)=n para todo n ∈ ℕ.

Queria ver a alternativa b. Fiz usando III, mas acho que está errado.

por orunss Seg 22 Mar 2021, 07:53

usando a II) f(2.1)= f(2).f(1)
pela I) isso força que f(1) tem que ser igual a 1
logo f(n)=n
para n

por **Eduardo Rabelo** Seg 22 Mar 2021, 08:01

Você provou para dois casos. Não é necessário generalizar?

por orunss Seg 22 Mar 2021, 08:05

Eduardo RabeloITA escreveu:Você provou para dois casos. Não é necessário generalizar?

Lembre-se que estamos falando de uma função que tem domínio nos naturais e imagem nos naturais também.
se f(1)=1
e f(2)=2 pensando nos naturais, desconheço uma função que daria f(3)≠3
ou f(n)≠n
mas posso tá errado.

por **Eduardo Rabelo** Seg 22 Mar 2021, 08:23

Se f: ℕ→ℕ, f(x)=x²-2x+2. f(1)=1 e f(2)=2, mas f(3)=5. Concorda?

Acredito que deva ter que usar a P.3, mas não sei muito bem como.

por orunss Seg 22 Mar 2021, 08:30

Eduardo RabeloITA escreveu:Se f: ℕ→ℕ, f(x)=x²-2x+2. f(1)=1 e f(2)=2, mas f(3)=5. Concorda?

Acredito que deva ter que usar a P.3, mas não sei muito bem como.

Novamente, posso tá errado.
mas nessa função tu tá trabalhando com números negativos, que não existem no conjunto dos números naturais

por orunss Seg 22 Mar 2021, 08:33

Eduardo RabeloITA escreveu:Se f: ℕ→ℕ, f(x)=x²-2x+2. f(1)=1 e f(2)=2, mas f(3)=5. Concorda?

Acredito que deva ter que usar a P.3, mas não sei muito bem como.

https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
pelo que eu entendi, não admite a operação de subtração por não ter números negativos

por ruanramos Seg 22 Mar 2021, 08:34

Eduardo RabeloITA escreveu:Se f: ℕ→ℕ, f(x)=x²-2x+2. f(1)=1 e f(2)=2, mas f(3)=5. Concorda?

Acredito que deva ter que usar a P.3, mas não sei muito bem como.

Bom dia. Acredito que seu pensamento estaja errado.

Da alternativa a temos:
f(2k) = 2k disso dizemos que todo numero par dos naturais será igual a f de seu numero ex.: f(2.3) = 6, como vc ja deve ter percebido esta a esta correta segundo o enunciado pois f(2.1) = 2

Agora veja:
da II temos f(3.2) = f(3).2, como f(6) = 6, f(3) será 3, vai dar certo com qualquer numero natural

A afirmativa III nos mostra que f(3) > f(2), o que confirma a II (m=3 n=2)