Polinômios.

por Egiedilus Qui Fev 11 2021, 17:41

Considerando os polinômios complexos P(x)₁ = ax + b, P(x)₂ = cx² + dx + e, P(x)₃ = x³ + 2x² – x + f, com a,b,c,d,e,f ∈R, assinale o que for correto.

01) Se a = b ≠ 0 e -1 é a raíz do polinômio P₃, então existem c, d e e, tais que P(x)₃ = P(x)₂ . P(x)₁.

02) Se d² – 4ce < 0, então P(x)₂ é uma equação sem solução.

04) Se -2 é raíz de P(x)₃, então P₃ tem três raízes reais.

08) Se f ≠ 0, então o polinômio P₃ tem 3 raízes que não são números reais.

16) Para a = b = 1, c = f = -2, d = 0 e e = 2, temos que o conjunto solução de P(x)₂/ P(x)₁ = - P(x)₃ é {0,1,-3}.

Gabarito: 01 – 04 - 16

Eu consegui fazer a 08 e a 16 sem problemas, adoraria se alguém pudesse me ajudar a entender as outras 3 opções!

por eduardodudu101 Qua Mar 03 2021, 02:19

I)Fazendo [latex]P(-1)_{3} = 0[/latex] teremos f = -2

Dessa forma, [latex]P(x)_{3} [/latex] = x³ + 2x² - x - 2

efetuando o produto dos polinômios p(x)2 e p(x)1,levando em conta que a = b,tem-se:

p(x)2p(x)3 = acx³ + (d + c)x² + (e + d)x + e

acx³ + (d + c)x² + (e + d)x + e = x³ + 2x² - x - 2

Por igualdade polinomial, c = 1,d = 1

II) d² - 4ce corresponde ao delta de p(x)2. Caso tenhamos delta<0,a equação terá soluções complexas,mas não quer dizer que se tratará de uma equação sem solução.

A afirmativa não especificou se estava falando dos conjuntos dos Reais. Logo,está errada.

IV) Para [latex]P(-2)_{3} = 0[/latex],f = -2

Como -2 é raiz de p(x)3,por Briott-Ruffini:

p(x)3 = (x+2)(x² - 1)

Como x² - 1 apresenta apenas raízes reais,com -2 raiz de p(x)3 teremos três raízes reais.

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