( UFRJ ) Números de associados simultaneamente... !?

por **alissonsep** Qui 22 Set 2011, 14:55

( UFRJ ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.
Quantos associados se inscreveram simultaneamente para as aulas de futebol e natação ?

Tentei montar o diagrama de john venn e a resposta deu 30 !

Gabarito: 23

por **Agente Esteves** Qui 22 Set 2011, 15:20

O clube não pôde oferecer aulas de tênis e futebol ao mesmo tempo. Logo, não há associados do clube que estejam nem nos dois esportes simultaneamente nem nos três esportes simultaneamente, já que para estar em três, deve-se estar nesses dois também.

Então nós temos esses grupos de associados:
Os que só fazem futebol
Os que só fazem tênis
Os que só fazem natação
Os que só fazem futebol e natação
Os que só fazem tênis e natação

Os que só fazem natação são 50 e quem faz natação em conjunto com outros esportes são 35.
Os que fazem futebol e tênis são 38 e 17, que, no total, dá 55 associados que fazem ou futebol ou tênis ou futebol e natação ou tênis e natação.
Entretanto, o número de inscritos para aulas exclusivamente de futebol excede em 10 o número de inscritos para aulas exclusivamente de tênis.

Vamos representar isso em números:
Número de inscritos só para futebol -> x

{35 - [17 - (x - 10)]} + x = 38 -> {35 - [17 - x + 10]} + x = 38 -> 35 - 17 + x - 10 + x = 38 -> 2x + 8 = 38 -> 2x = 30 -> x = 15
Explicando: fazendo o diagrama, podemos perceber que o grupo que só faz tênis é x - 10 enquanto o que faz futebol é x, já que o futebol excede o tênis em 10 unidades. Então, se nós diminuirmos 17 (o total de tenistas que podem ser exclusivamente tenistas ou não) de (x - 10) (o total de tenistas exclusivamente tenistas), descobrimos os tenistas que também são nadadores. Se diminuirmos esse número por 35 (número de tenistas e futebolistas que também são nadadores) , porém, descobriremos os futebolistas que são nadadores. Mas não sabemos que valor é esse. Mas se somarmos com o número de futebolistas que são somente futebolistas, sabemos que essa soma dará 38.

O número de associados que estão inscritos só em futebol é 15.

Agora, os que estão inscritos tanto em futebol quanto em natação é o resto das inscrições de futebol. Logo... 38 - 15 = 23.
São 23 os associados que se inscreveram simultaneamente para as aulas de futebol e natação.

Espero ter ajudado. ^_^