ângulo θ
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ângulo θ
por Miwaa Seg 07 Dez 2020, 15:59
O ângulo [latex]\theta \in\left[ \dfrac{\pi}{ 38 },\dfrac{\pi}{ 19 }\right][/latex] tal que [latex]2\text{sen}^2(19\cdot\theta)-\cos(19\cdot \theta)=1[/latex] é [latex]\theta =\dfrac{a\pi}{b}[/latex] com a e b inteiros e a/b irredutível. Encontre o valor de a+b.
Miwaa- Iniciante
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Re: ângulo θ
por JoaoGabriel Seg 07 Dez 2020, 17:36
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-cos(%5Calpha)=1%5Ctherefore&space;sin%5E2(%5Calpha)=1-cos%5E2(%5Calpha)%5C%5C%5C%5C2%5Ctimes(1-cos%5E2(%5Calpha))&space;-&space;cos(%5Calpha)=1%5C%5C%5C%5C-2cos%5E2(%5Calpha)-cos(%5Calpha)+1=0 "\\2sin^2(\alpha)-cos(\alpha)=1\therefore sin^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha)\\\\2\times(1-cos^2(\alpha)) - cos(\alpha)=1\\\\-2cos^2(\alpha)-cos(\alpha)+1=0")
Resolvendo, as soluções são 1/2 e -1. Sendo 1/2, theta seria pi/57, que está fora do intervalo. Portanto ficamos com -1.
=-1%5Cto&space;%5C19.%5Ctheta&space;=&space;%5Cpi%5Ctherefore&space;%5Ctheta&space;=&space;%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B19%7D%5Ctherefore&space;a&space;=&space;1;&space;b&space;=&space;19%5C%5C%5C%5C%5Cbold%7Ba+b=20%7D "\\cos(\alpha)=-1\to \19.\theta = \pi\therefore \theta = \frac{\pi}{19}\therefore a = 1; b = 19\\\\\bold{a+b=20}")
Resolvendo, as soluções são 1/2 e -1. Sendo 1/2, theta seria pi/57, que está fora do intervalo. Portanto ficamos com -1.
JoaoGabriel- Monitor
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