Ângulo entre vetores.

Se o p-ésimo, q-ésimo e r-ésimo termos de uma progressão geométrica são os números positivos a, b, c, respectivamente,
então o ângulo entre os vetores e é:



O gabarito é a alternativa C. A questão é realmente imensa?

Olá Eduardo!
Não encontrei o gabarito, mas deixarei aqui a minha solução:

Veja antes de tudo que:

[latex]\\(log a^2)\hat{\i}+(\log b^2)\hat{\j}+(\log c^2)\hat{k}=2.\left ( (\log a)\hat{\i}+(\log b)\hat{\j}+(\log c)\hat{k}\right )[/latex]

Logo [latex]\\(log a^2)\hat{\i}+(\log b^2)\hat{\j}+(\log c^2)\hat{k}[/latex] é paralelo a [latex](\log a)\hat{\i}+(\log b)\hat{\j}+(\log c)\hat{k}[/latex], de modo que podemos usar este para encontrar o ângulo. Além disso, veja que:

[latex]\\\left\{\begin{matrix}a= a_o.k^{p-1}\\ b= a_o.k^{q-1}\\ c= a_o.k^{r-1}\end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}= k^{p-q}\\ \frac{b}{c}= k^{q-r}\\ \frac{c}{a}= k^{r-p}\end{matrix}\right.\\\\ \rightarrow\left\{\begin{matrix}\log\frac{a}{b}= (p-q).\log k\\\log\frac{b}{c} = (q-r).\log k\\ \log\frac{c}{a}= (r-p).\log k\end{matrix}\right.\\\\\\\bullet(q-r)\hat{\i}+(r-p)\hat{\j}+(p-q)\hat{k}\\\\=\frac{1}{\log k}.\left [ (\log\frac{b}{c})\hat{\i}+(\log\frac{c}{a})\hat{\j}+(\log\frac{a}{b})\hat{k}\right ][/latex]

Logo [latex]\\(q-r)\hat{\i}+(r-p)\hat{\j}+(p-q)\hat{k}[/latex] é paralelo a [latex](\log\frac{b}{c})\hat{\i}+(\log\frac{c}{a})\hat{\j}+(\log\frac{a}{b})\hat{k}[/latex], de modo que podemos usar este para encontrar o ângulo.

Para encontra o ângulo entre os vetores [latex](\log a)\hat{\i}+(\log b)\hat{\j}+(\log c)\hat{k}[/latex] e [latex](\log\frac{b}{c})\hat{\i}+(\log\frac{c}{a})\hat{\j}+(\log\frac{a}{b})\hat{k}[/latex], basta isolar o cosseno no produto escalar. Veja:

[latex]\\\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left \| \vec{u} \right \|.\left \| \vec{v} \right \|}\\ \rightarrow\cos\theta =\frac{\log a .\log\frac{b}{c} +\log b .\log\frac{c}{a}+\log c .\log\frac{a}{b}}{\sqrt{(\log^2a+\log^2b+\log^2c).\left (\log^2\frac{b}{c}+\log^2\frac{c}{a}+\log^2\frac{a}{b} \right )}}\\\\ =\frac{\log a .(\log b - \log c) +\log b .(\log c - \log a)+\log c .(\log a - \log b)}{\sqrt{(\log^2a+\log^2b+\log^2c).\left (\log^2\frac{b}{c}+\log^2\frac{c}{a}+\log^2\frac{a}{b} \right )}}\\\\ =0\rightarrow\;\boxed{\theta = \frac{\pi}{2}}[/latex]