Coordenadas Cilíndricas

Olá Gabs lopes!
Antes de começarmos a fazer as contas, é sempre bom termos um esboço da figura para nos auxiliar. Veja:



Agora a ideia clássica é substituir x = r.cosθ e y = r.senθ para encontrar as relações entre r, θ e z. Antes disso, no entanto, vamos encontrar os limites dos valores que θ pode assumir. Veja que os cilindros definem θ, e que podemos analisar θ sobre o plano xy:



Perceba que o triângulo amarelo é equilátero, de lado 1. Sendo assim, como a região delimitada no enunciado pode assumir os valores de x e y dos pontos pertencentes à região hachurada, e como a região é limitada ao primeiro octante, teremos que 30° < θ < 90°. Agora vamos limitar r e z, veja:

[latex]\\\bullet\left\{\begin{matrix}x^2+y^2> 1\\ x^2+y^2< 2y\end{matrix}\right.\;\rightarrow\;\left\{\begin{matrix}r^2> 1\\ r^2< 2r\sin\theta\end{matrix}\right.\;\rightarrow\;1 < r < 2\sin\theta [/latex]

[latex]\\\bullet\left\{\begin{matrix}z> 1+x^2+y^2\\ z< 9-x^2-y^2\end{matrix}\right.\;\rightarrow\;1+r^2 < z < 9-r^2[/latex]

Agora que já temos os limites das nossas variáveis, temos que aplicar a seguinte ideia na integral tripla:

[latex]\\\int \int \int f(x,y,z).dV= \int \int \int f(r\cos\theta,r\sin\theta,z).r.dz.dr.d\theta[/latex]

Aplicando esta ideia, e colocando como os limites de integração os limites encontrados para cada variável, teremos:

[latex]\\\int \int \int \frac{x}{x^2+y^2}.dV= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{2\sin\theta}\int_{1+r^2}^{9-r^2} \frac{r\cos\theta}{r^2}.r.dz.dr.d\theta\\\\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta.d\theta \int_{1}^{2\sin\theta}dr\int_{1+r^2}^{9-r^2} .dz\\\\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta.d\theta \int_{1}^{2\sin\theta}(8-2r^2)dr\\\\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta.(16\sin\theta-\frac{16\sin^3\theta}{3}-\frac{22}{3}).d\theta\\\\ =\frac{13}{12} [/latex]