Questão ENEM

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano: A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas 
a) (65; 35). 
b) (53; 30).
 c) (45; 35).
 d) (50; 20).
 e) (50; 30)




Gabarito letra E
Por que não posso fazer a média dos 3 pontos? Com assim:        A(30,20) + B(70,20) + C(60,50)/3
                                                                                             (160,90)/3
                                                                                             (53,30)
                                                                                         -  essa é a alternativa b, a qual está errada. Por quê ?

Porque ao fazer isso, você está encontrando o ponto chamado de baricentro, que nada mais é do que o encontro das medianas. Na questão, entretanto, pede-se o encontro das mediatrizes, que é o circuncentro. Isso pode ser visto porque ele pede um ponto que equidista dos 3 vértices do triângulo ABC, então podemos enxergar esse ponto como o centro de um círculo que passa pelos vértices ABC.

Talvez resolvendo o problema isso fique mais claro. Pensemos nos pontos que equidistam de A e B, onde eles se encontram? R: na mediatriz de AB. Isso vale também para A e C, de modo que fazendo a interseção das mediatrizes de AB e AC (circuncentro) encontraremos o ponto da questão. Veja que a mediatriz de AB é mais fácil de fazer, pois ela é uma reta vertical que passa pelo ponto médio de AB. Sua equação é portanto x = (30+70)/2 = 50. Já eliminamos quase todas, ficando entre a d) e a e). Se fosse fazer essa questão direitinho, teríamos que encontrar a equação da mediatriz de AC, tendo que para isso encontrar o ponto médio de AC pelo qual ela passa e o coeficiente angular da mediatriz, que é perpendicular a reta que passa por AC, para só então fazermos a interseção com a mediatriz x=50. Porém, veja que a opção d) está completamente errada, pois ela é o ponto médio de AB, que claramente tem uma distância maior de C do que de A e de B. Logo, a única solução possível é a e). 

Isso poderia ser visto pelo desenho direto também, sem nem pensar em nada, pois o ponto (50;30) dista uma diagonal de um retângulo 2x1 dos 3 vértices.

Realmente, existem várias maneiras de matar essa questão, seja achando o encontro das mediatrizes, seja só analisando a figura. No calor da emoção, fiz o encontro das medianas, vi que tinha essa resposta e marquei a B aiushdauishd.
Apesar de não poder ser a B nem por mediana, porque, na real, a divisão de 160 por 3 da 53,33...
Muito obrigado pela explicação minuciosa.