Permutação com repetição (UERJ, 2011)

(UERJ, 2011) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.


Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:

(A) 20
(B) 15
(C) 12
(D) 10

GABARITO: (B) 15
DÚVIDA: O gabarito utiliza a fórmula da permutação com repetição, mas por que não posso usar a combinação para resolver esse problema? Pensei da seguinte maneira: são 30 lados ao todo, divididos em 12 lados horizontais e 18 lados oblíquos (sendo 10 lados oblíquos para a esquerda e 8 lados oblíquos para a direita), de modo que a formiga sempre percorre por 4 lados horizontais e 2 lados oblíquos para a esquerda. Dessa forma, faz-se a combinação de 12 lados horizontais tomados 4 a 4 multiplicados por 10 lados oblíquos para a esquerda tomados 2 a 2.


Eu sei que esse cálculo resulta em um número muito alto, sei que está errado, mas não compreendo o porquê.

Mateus Meireles escreveu:Olá, Lucas4lmeida.

Não entendi muito bem o que você quis dizer com "30 lados ao todo". Não são apenas 6 lados (4 lados horizontais e 2 lados oblíquos, pois precisamos garantir a menor distância)?

Sabendo disso, basta escolhermos os caminhos que serão realizados na horizontal (ou oblíquos, tanto faz): [latex]C^4_6 = 15,[/latex] de sorte que os caminhos oblíquos ficam determinados.

Por exemplo, escolhidos os seguintes caminhos na horizontal:



Os caminhos oblíquos ficam determinados do seguinte modo:



E o trajeto total realizado é dado por:



Faz sentido pra você?

Qlq dúvida manda aí.

Abs.

Olá Mateus, acho que estou entendendo. Penso que o que me dificultou nessa questão foi não limitar esse número em apenas 6 caminhos, pois eu considerei todos os outros, mesmo sabendo que não resultariam nos mais curtos deles. Não sei se o meu exemplo está correto, mas seria como se eu quisesse formar uma comissão com y pessoas, de um grupo maior de x pessoas, mas sabendo que só z pessoas são aptas aos y cargos. Acho que nesse caso, como na questão acima, o cálculo deve ser feito com z, e não com x, dado que somente z pessoas são verdadeiramente aptas (x > z > y). Perdão se ficou confuso demais kkkk. Enfim, questão de prática. Farei mais exercícios.
A questão dos 30 lados é que, se você contar todos os lados dos triângulos entre A e B, terá 30 (12 lados horizontais e 18 lados oblíquos).
Muito obrigado pela ajuda!