Probabilidade, urna com bilhetes numerados de 1 a 100

por powermetal Sex 17 Jul 2020, 20:46

Uma urna contém 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Retirando-se 3 números ao acaso e sem reposição, a probabilidade
de que esses números saiam em ordem crescente é

(A)1/3
.
(B)1/6
.
(C)1/9
.
(D)1/12
.
(E)1/15

por Take me down Sáb 18 Jul 2020, 06:19

Olá, powermetal.

Podemos pensar que apenas uma permutação de cada subconjunto escolhido apresenta a ordenação crescente. Assim, um em cada 3! -----> 1/6.

Outra explicação.

Ao fazermos a combinação 3 a 3 dos 100 bilhetes, temos a contagem dos seguintes subconjuntos:

{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}...
{2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}...
...
{98,99,100}

Ou seja, os subconjuntos criados podem ser associados aos casos favoráveis e a contagem desses casos favoráveis é dada pela combinação de 100 escolhe 3.

No entanto, sortear os bilhetes exige uma ordem, de modo que existe o primeiro bilhete, o segundo bilhete e o terceiro bilhete.

A contagem dessas possibilidades, ou seja, o número de elementos do espaço amostral, é dada pela permutação dos elementos de cada subconjunto visto anteriormente. Assim, temos 3! para cada subconjunto ---> 3! vezes a combinação de 100 escolhe 3 (para alguns, um arranjo).

Logo, P(evento ordem crescente) = C(100,3)/(3!.C(100,3)) = 1/3! = 1/6.

Acompanhe o canal e bons estudos!

por powermetal Sáb 18 Jul 2020, 17:52

Take me down escreveu:Olá, powermetal.

Podemos pensar que apenas uma permutação de cada subconjunto escolhido apresenta a ordenação crescente. Assim, um em cada 3! -----> 1/6.

Outra explicação.

Ao fazermos a combinação 3 a 3 dos 100 bilhetes, temos a contagem dos seguintes subconjuntos:

{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}...
{2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}...
...
{98,99,100}

Ou seja, os subconjuntos criados podem ser associados aos casos favoráveis e a contagem desses casos favoráveis é dada pela combinação de 100 escolhe 3.

No entanto, sortear os bilhetes exige uma ordem, de modo que existe o primeiro bilhete, o segundo bilhete e o terceiro bilhete.

A contagem dessas possibilidades, ou seja, o número de elementos do espaço amostral, é dada pela permutação dos elementos de cada subconjunto visto anteriormente. Assim, temos 3! para cada subconjunto ---> 3! vezes a combinação de 100 escolhe 3 (para alguns, um arranjo).

Logo, P(evento ordem crescente) = C(100,3)/(3!.C(100,3)) = 1/3! = 1/6.

Acompanhe o canal e bons estudos!

N entendi . Pois quando se faz a permuta de cada conjunto vamos contar mais de uma vez ao fazer permutas como a dos conjuntos (1,2,3) e (3,2,1). Que são conjuntos identicos

por **Elcioschin** Sáb 18 Jul 2020, 18:07

(1, 2, 3) está em ordem crescente mas (3, 2, 1) não está.

por powermetal Sáb 18 Jul 2020, 18:24

Elcioschin escreveu:(1, 2, 3) está em ordem crescente mas (3, 2, 1) não está.

Consegui entender que a prob desejada é a Combinação 100,3 / Arranjo 100,3.
Mas n entendi pq os casos favoraveis são dados por C100,3

por Edsonrs Ter 21 Jul 2020, 22:59

O problema diz "sem reposição". Se eu não estou enganado, mesmo havendo reposição a probabilidade seria a mesma. Concordam?

por Lucius Draco Ter 21 Jul 2020, 23:23

Edsonrs escreveu:O problema diz "sem reposição". Se eu não estou enganado, mesmo havendo reposição a probabilidade seria a mesma. Concordam?

Não. As probabilidades são diferentes.

Sem reposição: P = C(100,3)/[3!*C(100,3)]

Com reposição: P = [C(100,3) + 2*C(100,2) + C(100,1)]/100³

por Take me down Qua 22 Jul 2020, 02:10

powermetal escreveu:
Elcioschin escreveu:(1, 2, 3) está em ordem crescente mas (3, 2, 1) não está.
Consegui entender que a prob desejada é a Combinação 100,3 / Arranjo 100,3.
Mas n entendi pq os casos favoraveis são dados por C100,3

Olá, powermetal,

Tomemos os números 1,2 e 3, como exemplo.

Permutações ---> (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

Ou seja, há 6 ordens possíveis para que retiremos esses bilhetes. Nosso "espaço amostral".

O que a combinação C100,3 faz é contar uma dessas permutações, afinal, os conjuntos são idênticos.

Perceba que ao fazer a combinação podemos supor que foi "escolhida" justamente a permutação em que os números se encontram na ordem crescente.

Ou seja, estamos falando dos casos favoráveis.

O exemplo (1,2,3) nos diz que para quaisquer três números escolhidos, há apenas uma ordenação em ordem crescente, dentre as permutações possíveis entre esses três números.

por Edsonrs Qua 22 Jul 2020, 10:36

Caro Lucius, não saquei sua resposta. Já vi que realmente com reposição e sem reposição são diferentes.
Sem reposição 1/A(3,3)=1/(P3)
Com reposição é um arranjo com repetição = 1/3^3=1/27

por **Mateus Meireles** Qua 22 Jul 2020, 20:16

Edsonrs escreveu:O problema diz "sem reposição". Se eu não estou enganado, mesmo havendo reposição a probabilidade seria a mesma. Concordam?

Os casos favoráveis, como já mostrado pelo colega TakeMeDown, seriam C(100,3) (modos de escolher três bilhetes para serem sacados, sendo que uma única ordem nos interessa: crescente). Já os casos possíveis seriam diferentes: 100^3, daí a probabilidade muda caso ocorra reposição (pois o espaço amostral muda).

Abs.