Geometria Plana- circunferência inscrita no triângulo

por Guilherme023 Qua 15 Jul 2020, 21:24

Seja C1 a circunferência inscrita num triângulo ABC cujo perímetro mede 18cm. Uma tangente a C1 é paralela a um dos lados do triângulo e mede 2cm. Quais os possíveis valores do lado ao qual esta tangente é paralela?

por n0name Dom 26 Jul 2020, 18:29

Considere:
''a'' o lado oposto ao vértice A (BC)
''b'' o lado oposto ao vértice B (AC)
''c'' o lado oposto ao vértice C (AB)
''c'' é o lado paralelo ao segmento tangente a C1.
A' (em AC) e B' (em BC) os pontos formados pela tangente a C1.
x = AA' e y = BB'

1) Teorema de Pitot (AA'B'B):
[latex]x+y=2+c[/latex]
Logo:
[latex]2p(A'B'C)=b-x+a-y+2=a+b-(x+y)+2=18-c-2-c+2=18-2c[/latex]
Como os triângulos ABC e A'B'C são semelhantes (Dois lados paralelos, logo, os ângulos da base são iguais, caso A.A.), vale a relação:
[latex]\frac{2p(ABC)}{2p(A'B'C)}=\frac{c}{2}\rightarrow \frac{18}{18-2c}=\frac{c}{2}\rightarrow2c^2 -18c+36=0\rightarrow x^2-9c+18=0 [/latex]
Portanto, x = 6 ou x = 3 são os possíveis valores.

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