Matemática - Análise Combinatória

Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos distintos cada um. Determine x.

Gabarito: x = 40.

Meu raciocínio foi o seguinte: fixei o último algarismo com duas possibilidades e atribuí 5 possibilidades restantes para o primeiro algarismo e 4 para o segundo. Desse modo, o valor é x = 40. O gabarito confere. Minha dúvida é: por qual motivo, quando aplico a ideia de arranjo simples (onde a ordem importa), o resultado não é o mesmo? Onde está meu erro?
Agradeço pela atenção.

 Boa noite!

Primeiramente, tratemos de organizar os dados fornecidos pela questão:

Seja A um conjunto com os digitos mecionados na questão: A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

A questão pede ----> Número de dígitos distintos e ímpares.

Segundamente, tratemos de relembrar as propriedades e teoremas que usaremos na resolução:


- Definição de número ímpar: Aquele que não é par;

- Definição de número par: [latex]N = 2k , k\in \mathbb{Z}[/latex]

- Consequência da definição, número par tem algarismo das unidades par;

- Príncipio fundamental da contagem: Se são possíveis realizar 2 decisões, de modo que a primeira seja de x maneiras, e a segunda de y maneiras. Então, são possíveis tomar xy decisões ao todo.

- Arranjo com elementos distintos: [latex]A_n,{_{p}} = \frac{n!}{(n-p)!}[/latex].

Agora, tratemos de simplificar o problema usando os "tracinhos": _ _ _

Como a primeira condição, é que o número seja ímpar, não podemos ter o algarismo da unidade par, a qual os únicos possíveis valores são 1 ou 3 (2 possibilidades).

_ _ 2

Os 2 primeiros "tracinhos" serão um arranjo de 5 elementos tomados 2 a 2, serão 5 pois foi utilizado um dígito nas unidades. E como a ordem dos elementos importam, será arranjo.

[latex]A_5,{_{2}} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20[/latex]

Concluindo, pelo príncipio fundamental da contagem, temos:

[latex]20 \cdot 2 = 40[/latex]

40 dígitos todos distintos então.

Espero ter ajudado, boa noite!