Polinômios

por Gwennire Seg 13 Jul 2020, 17:51

Se [latex]P(x)[/latex] é um polinômio de grau n tal que [latex]P(w)=\frac{1}{w}[/latex] para [latex]w[/latex] ∈ {[latex]1, 2, 2^{2}, ..., 2^{n}[/latex]}, calcule [latex]P(0)[/latex].

por **Elcioschin** Seg 13 Jul 2020, 18:11

P(w) = 1/2^{w - 1} ---> testando:

w = 1 ---> P(1) = 1/2^{1 - 1} ---> P(1) = 1 ---> Ok
w = 2 ---> P(2) = 1/2^{2 - 1} ---> P(2) = 1/2 ---> Ok
w = 3 ---> P(3) = 1/2^{1 - 1} ---> P(3) = 1/2² ---> Ok

Para w = 0 ---> P(0) = 1/2^{0 - 1} ---> P(0) = 2

por **fantecele** Seg 13 Jul 2020, 20:48

Tem certeza que é pra encontrar P(0)? Ou teria certeza que P(w) = 1/w? Não era pra ser, talvez, P(w) = 1/(1+w)?

Considerando os dados do enunciados vamos ter:

Considere o polinômio de grau n+1 dado por $gif.latex?\dpi{150}&space;\tiny&space;\\Q(x)=xP(x)-1$ , perceba que para $gif.latex?\dpi{150}&space;\tiny&space;\\w\in&space;\left&space;\{&space;1,2,2^2,...,2^n&space;\right&space;\}$ , vamos ter que $gif.latex?\dpi{150}&space;\tiny&space;\\Q(w)=0$ , logo, pode escrever $gif.latex?\dpi{150}&space;\tiny&space;\\Q(x)$ como $gif.latex?\dpi{150}&space;\tiny&space;\\Q(x)=a.(x-1).(x-2).(x-2^2)...(x-2^n)$ , dessa forma $gif.latex?\dpi{150}&space;\tiny&space;\\xP(x)-1=a.(x-1).(x-2).(x-2^2)...(x-2^n)\\$ , fazendo $gif.latex?\dpi{150}&space;\tiny&space;\\x=0$ iremos obter que:

$gif.latex?\dpi{100}&space;\\xP(x)-1=a.(x-1).(x-2).(x-2^2)...(x-2^n)\\0.P(0)-1=a.(-1).(-2).(-2^2)...(-2^n)\\a.(-1)^{n+1}.\left&space;(&space;2^{\frac{n.(n+1)}{2}}&space;\right&space;)=-1\\a=\frac{(-1)^n}{2^{\frac{n.(n+1)}{2}}}$

Com isso, chegamos em:

$gif.latex?\dpi{100}&space;\\xP(x)-1=\frac{(-1)^n}{2^{\frac{n.(n+1)}{2}}}.(x-1).(x-2).(x-2^2)...(x-2^n)$

Se eu não errei conta vamos ter um probleminha pra x = 0, não vai dar pra calcular P(0)...
A ideia pra calcular esse tipo de exercício é essa, mas aparentemente nesse não deu muito certo.